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Probar que para todo real p > 0,

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{n(\sqrt[n ]{p}-1)}=\ln p \)

Antes una idea sobre cómo sospechar que esto puede ser así.

Partimos del conocido límite  \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}\left(1+\displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^n=e^\lambda \) 

Para \( \lambda=\ln p \), y teniendo en cuenta que \( e^{\ln p}=p \), se tiene

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}\left(1+\displaystyle\frac{\ln p}{n}\right)^n=p \)

Para valores de n suficientemente avanzados, la sucesión y su límite son 'casi la misma cosa'. Ponemos entonces

\( \left(1+\displaystyle\frac{\ln p}{n}\right)^n \approx p \)

Haciendo cuentas:

\( 1+\displaystyle\frac{\ln p}{n} \approx \sqrt[n]{p} \)

y de acá

\( n(\sqrt[ n]{p}-1)\approx \ln p \)

A partir de esta igualdad aproximada podemos sospechar que efectivamente es cierto que

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{n(\sqrt[n ]{p}-1)}=\ln p \)

Pero ahora hay que probar esto rigurosamente. 

Como sabemos, dada una sucesión de números reales \( x_n \),  \( x_n\to x \) sii dado cualquier intervalo abierto \( (\alpha, \beta) \) que contenga a p, \( x_n\in (\alpha,\beta) \) para casi todo n

Sean entonces \( \alpha \mbox{ y } \beta  \) tales que

\( \alpha < \ln p < \beta \)                        (I)

Necesitamos probar que

\( \alpha < n(\sqrt[ n]{p}-1) < \beta \)  para casi todo índice n     (II)

Dividiendo por n, sumando 1 y luego elevando a la n, los sentidos de las desigualdades se conservan, y probar (II) se reduce a probar que

\( \left(1+\displaystyle\frac{\alpha}{n}\right)^n<p<\left(1+\displaystyle\frac{\beta}{n}\right)^n \)    (III)

De (I), como la función \( x\mapsto e^x \) preserva el orden, tenemos

\( e^\alpha<p<e^\beta \)     (IV)

La desigualdad izquierda de (IV) nos permite hacer que p sea la pata derecha de un entorno de \( e^\alpha \), y teniendo presente que

\( \left( {1 + \displaystyle\frac{\alpha }{n}} \right)^n \xrightarrow[n\xrightarrow{}\infty]\,e^\alpha \),

gracias a la definición de límite podemos asegurar que

\( \left(1+\displaystyle\frac{\alpha}{n}\right)^n<p \)  para casi todo n      (V)

La desigualdad derecha de (IV) permite hacer que p sea la pata izquierda de un entorno de \( e^{\beta} \), y teniendo en cuenta que

\( \left( {1 + \displaystyle\frac{\beta }{n}} \right)^n\xrightarrow[n\xrightarrow{}\infty]\, e^\beta \),

nuevamente gracias a la definición de límite podemos asegurar que

\(  \left(1+\displaystyle\frac{\beta}{n}\right)^n > p \)  para casi todo n      (VI)

Como (V) y (VI) valen cada uno para casi todo n, avanzando lo suficiente como para dejar atrás los n que no sirven, podemos asegurar que  (III) vale para casi todo n, que es lo que queríamos probar.