[Unicono]

Los siguientes son dos problemas que me han propuesto en geometría lineal, el primero creo saber solucionarlo, pero no sé como empezar el segundo.

1.Prueba que las medianas de un triángulo son concurrentes
2.Prueba que si las cevianas \( (AA') \), \( (BB') \), \( (CC') \) de un triangulo \( ABC \) son concurrentes en un punto \( G \), entonces \( (GAA')=(C'AB)+(B'AC) \)

Para solucionar el primero he tomado coordenadas baricéntricas; \( A=(0,0) \),\(  B=(1,0) \), \( C=(0,1) \) \( (ABC \) es un triangulo) y luego he calculado las ecuaciones de las rectas medianas. He colocado las tres ecuaciones de las rectas medianas en un sistema de ecuaciones y este sistema solo tenia una solcuión: \(  x=1/3 \) , \( y=1/3 \). Y así creo haber demostrado que son concurrentes en un punto, el punto \( (1/3,1/3) \) (que es el baricentro).

No se como solucionar el segundo problema, todo lo que he hecho es \( (C'AB)=\lambda \) y por lo tanto \( (AC'B)= 1+ \lambda \). Ahora quiero ver que \( (GAA')=1+ 2*\lambda. \)

He solucionado bien el primer problema? Como puedo empezar el segundo? Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

Los siguientes son dos problemas que me han propuesto en geometria lineal, el primero creo saber solucionarlo, pero no se como empezar el segundo.

1.Prueba que las medianas de un triangulo son concurrentes
2.Prueba que si las cevianas \( (AA') \), \( (BB') \), \( (CC') \) de un triangulo \( ABC \) son concurrentes en un punto \( G \), entonces \( (GA'A)=(B'CA)+(C'BA) \)

Para solucionar el primero he tomado coordenadas baricéntricas; \( A=(0,0) \),\(  B=(1,0) \), \( C=(0,1) \) \( (ABC \) es un triangulo) y luego he calculado las ecuaciones de las rectas medianas. He colocado las tres ecuaciones de las rectas medianas en un sistema de ecuaciones y este sistema solo tenia una solcuión: \(  x=1/3 \) , \( y=1/3 \). Y así creo haber demostrado que son concurrentes en un punto, el punto \( (1/3,1/3) \) (que es el baricentro).

Esto está bien si lo que has hecho es tomar un sistema de referencia con origen en \( A \) y base \( \{\vec AB,\vec AC\} \).

Entonces la única crítica es que esas coordenadas no se llaman coordenadas baricéntricas.

No se como solucionar el segundo problema, todo lo que he hecho es \( (B'CA)=\lambda \) y por lo tanto \( (C'BA)= 1+ \lambda \). Ahora quiero ver que \( (GA'A)=1+ 2*\lambda. \)

No tengo claro que estás denotando por \( (GA'A) \), es decir, en general qué denotas por tres puntos seguidos puestos entre paréntesis.

Saludos.

[Unicono]

Con \( (ABC) \) me refiero a la razón simple de estos tres puntos, es decir:

Se llama razón simple de tres puntos \( A,B \) y \( C \) alineados en un espacio afín al único escalar, que denotaremos \( (ABC) \) tal que \( \vec{AC} \)\( =(ABC)(\vec{AB}) \)

Te adjunto los apuntes que estoy siguiendo, en la página 48 (página 56 del pdf) introduce la razon simple: https://amontes.webs.ull.es/apuntes/g1h.pdf

[Luis Fuentes]

Hola

Con \( (ABC) \) me refiero a la razón simple de estos tres puntos, es decir:

Se llama razón simple de tres puntos \( A,B \) y \( C \) alineados en un espacio afín al único escalar, que denotaremos \( (ABC) \) tal que \( \vec{AC} \)\( =(ABC)(\vec{AB}) \)

Te adjunto los apuntes que estoy siguiendo, en la página 48 (página 56 del pdf) introduce la razon simple: https://amontes.webs.ull.es/apuntes/g1h.pdf

Toma la referencia \( A=(0,0) \), \( B=(1,0) \) y \( C=(0,1) \).

Entonces \( A'=(a,1-a) \), \( B'=(0,b) \) y \( C'=(c,0) \). Y \( G=(ta,t(1-a)) \).

Para que \( G \) pertenezca a los segmentos \( BB'  \) y \( CC' \) tiene que cumplirse que:

\( \dfrac{ta-1}{t(1-a)}=\dfrac{1}{-b} \)

\( \dfrac{ta}{t(1-a)-1}=\dfrac{c}{-1} \)

Con todo esto haz las cuentas y concluye.

Saludos.

[Unicono]

Perdona que responda tan tarde, en clase solucioné el problema de otra forma con unos compañeros y olvidé este post.

Aún así quiero entender esta forma de solucionar el problema. Entiendo por qué \( G=(ta,t(1-a) \), pero no veo el por qué de la igualdad \( \displaystyle\frac{ta-1}{t(1-a)}=\displaystyle\frac{1}{-b} \).

Para que \( G \) pertenezca al segmento \( BB' \) por que tiene que cumplirse esta ecuación? \( \displaystyle\frac{ta-1}{t(1-a)}=\displaystyle\frac{1}{-b} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Para que \( G \) pertenezca al segmento \( BB' \) por que tiene que cumplirse esta ecuación? \( \displaystyle\frac{ta-1}{t(1-a)}=\displaystyle\frac{1}{-b} \)

Lo que uso es que el vector \( \vec GB \) tiene que ser paralelo (y por tanto sus coordenadas proporcionales) al \( \vec BB' \).

Saludos.