El enunciado del problema dice así:
Disponemos de un numero ilimitado de bloques de 1 cm, 2 cm y 3 cm de largo. Combinando estos bloques, y sin tener en cuenta el orden en que se colocan, cuantas torred de 15 cm de largo se pueden formar?
En clase me han enseñado a resolver estos ejercicios con funciones generadoras.
Tengo que \( x_1+2x_2+3x_3=15 \)
Como enemos un numero ilimitado de bloques, las funciones generadoras (que son series de potencias) seran:
de \( x_1: 1,1,1,1,1,1.... = \) \( 1+x+x^2+x^3... \), y su forma cerrada es \( 1/(1-x) \), ya que \( \displaystyle\sum_{n\geq{o}}^\infty{x^n}=\displaystyle\frac{1}{1-x} \)
de \( x_2: 2,2,2,2,2,2.... = \) \( 1+x^2+x^4+x^6... \), y su forma cerrada es \( 1/(1-x^2) \)
de \( x_3: 3,3,3,3,3,3.... = \) \( 1+x^3+x^6+x^9... \), y su forma cerrada es \( 1/(1-x^3) \)
Entonces por la regla del producto la solcución es \( \displaystyle\frac{1}{1-x}*\displaystyle\frac{1}{1-x^2}*\displaystyle\frac{1}{1-x^3} \)
Mi problema viene cuando quiero expresar \( \displaystyle\frac{1}{1-x}*\displaystyle\frac{1}{1-x^2}*\displaystyle\frac{1}{1-x^3} \) como la suma de diferentes fracciones mas simples.
He llegado hasta aquí: \( \displaystyle\frac{1}{1-x}*\displaystyle\frac{1}{1-x^2}=\displaystyle\frac{1+x}{(1-x^2)^2}=\displaystyle\frac{1/2}{(1-x)^2}+\displaystyle\frac{1/4}{1+x} \)
Ahora necesito expresar \( (\displaystyle\frac{1/2}{(1-x)^2}+\displaystyle\frac{1/4}{1+x})*\displaystyle\frac{1}{1-x^3} \) como la suma de fracciones mas simples. Cómo lo hago?
Con un poco de suerte me habré expresado suficientemente bien, me resulta bastante difícil explicar estos problemas de combinatoria, si hay alguna duda debido a que no me he explicado bien decídmelo e intentaré ser mas conciso
