Hola pepiso.
En un espacio métrico (y en cualquier espacio topológico) la intersección de dos abiertos es abierto. Como consecuencia la intersección de cualquier cantidad finita de abiertos es un conjunto abierto. Pero si tenemos una colección de abiertos \( \{U_{i}\}_{i\in I}, \) donde \( I \) es un conjunto de índices que puede ser infinito (de cualquier cardinalidad) entonces no necesariamente \( U:=\bigcap_{i\in I}U_{i} \) es un conjunto abierto. A la anterior intersección se le llama una intersección arbitraria, porque no tenemos ninguna restricción sobre la cantidad de abiertos que estamos intersectando.
Entonces, por lo que acabamos de comentar, para que una intersección de la forma \( U:=\bigcap_{i\in I}U_{i}, \) (con los \( U_{i} \) abiertos) no sea abierto, necesitamos que hayan infinitos abiertos. Un ejemplo que funciona es considerar los abiertos de \( \mathbb{R} \) (con la métrica usual) del tipo \( (-1/n,1/n) \) para todo \( n\in\mathbb{N} \).
Saludos,
Enrique.
