[pepiso]

Hola:

sea (X,d) un espacio métrico, \( y\in X \) y una sucesión \( \left \{ x_{n} \right \}_{n\in \mathbb{N}} \) en X convergente a x. Supongamos que existe \( N\in{\mathbb{N}} \) tal que \( x_{n}\in \bar{B}(y,r), \forall n>N \) con r>0. ¿Cómo probaríais que \( x\in \bar{B}(y,r) \)?


Saludos.

[EnRlquE]

Hola pepiso.

 Sólo para estar seguro ¿es \( \bar{B}(y,r) \) la bola cerrada centrada en \( y \) y de radio \( r \)? Si fuera así, podemos proceder por contradicción, suponiendo que \( x\not\in\bar{B}(y,r). \) En este caso existe \( \delta>0 \) tal que \( B(x,\delta)\cap\bar{B}(y,r)=\emptyset. \) Entonces como \( \lim_{n\to\infty}x_{n}=x, \) existe \( M\in\mathbb{N} \) tal que \( x_{n}\in B(x,\delta) \) para todo \( n\geq M. \) Pero esto... (concluye).

Saludos,

Enrique.

[pepiso]

Sí, a esa bola me refiero. ¿Con eso ya lo habrías demostrado?

[EnRlquE]

Hola.

Sí, a esa bola me refiero. ¿Con eso ya lo habrías demostrado?

 Bueno, si comprendes lo que te indiqué antes y eres capaz de concluir digamos que sí, que ya estaría (casi) demostrado. Pero si hay cosas que no comprendes y tienes dificultades en algunas partes, entonces no.

 La idea es que comprendas la prueba pepiso, si hay algo que no tienes claro, puedes preguntar todo lo que quieras, las cantidad de veces que creas necesario.

Saludos,

Enrique.