[DMapmx]

Que tal buenas tardes, hace poco me dejaron problemas de probabilidad, los que me están causando algo de ruido son problemas del siguiente estilo

Sea \( f(x)=\exp(-{(x-\mu)/{2\sigma}})^2  \)

Hallar \( F[X] \) y \( E[X] \)

Si no mal entiendo, para hallar \( F[X] \) hay que integrar \( f(x) \quad \displaystyle\int_{-\infty}^{x} \exp(-{(x-\mu)/{2\sigma}})^2 dx \), y para hallar el \( E[X] \) hay que integrar: \( \displaystyle\int_{-\infty}^{x} x*\exp(-{(x-\mu)/{2\sigma}})^2 dx \)

¿Estoy en lo correcto, o tengo algun error?

[statistic_man]

Creo que tienes mal escrito la expresión, intuyo que el menos no se ve afectado por el cuadrado. Efectivamente sería así. La esperanza la puedes calcular así \( E[X]=\int (1-F(x)) dx \) si tienes una variable contínua y de recorrido positivo (esa integral podría ser más manejable, hazlo como veas). Por otro lado deberías ponernos que valores toma la variable aleatoria para ayudarte con los límites de integración Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Que tal buenas tardes, hace poco me dejaron problemas de probabilidad, los que me están causando algo de ruido son problemas del siguiente estilo

Sea \( f(x)=\exp(-{(x-\mu)/{2\sigma}})^2  \)

Hallar \( F[X] \) y \( E[X] \)

Si no mal entiendo, para hallar \( F[X] \) hay que integrar \( f(x) \quad \displaystyle\int_{-\infty}^{x} \exp(-{(x-\mu)/{2\sigma}})^2 dx \), y para hallar el \( E[X] \) hay que integrar: \( \displaystyle\int_{-\infty}^{x} x*\exp(-{(x-\mu)/{2\sigma}})^2 dx \)

¿Estoy en lo correcto, o tengo algun error?

Estás en lo correcto en el planteamiento; pero como dice statistic_man, es posible que tengas un error en la función de densidad que has escrito. Se parece mucho a la de una distribución normal, que sería:

\( f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}exp\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \)

La que has escrito tu tal como está no sería una función de densidad (a no ser que no esté definida en todos los reales) porque la integral \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-{(x-\mu)/{2\sigma}})^2 dx \) no converge.

Saludos.

[DMapmx]

Una correccion, el ejercicio va asi efectivamente
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xe^{(\frac{-(x-\mu)}{2\sigma})^2} \)

El ejercicio ya se resolvio en clase y si, efectivamente no converge, de hecho al parecer el profesor le agrego el cuadrado para que no hallaramos la solucion tan facil u obvia (pero por lo menos el planteamiento lo tenia correcto no es asi)

[EnRlquE]

Hola DMapmx.

\( \bullet \) Nota que tenemos \( \displaystyle e^{\big(\frac{-(x-\mu)}{2\sigma}\big)^{2}}\neq e^{\frac{-(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}. \) Lo que está al lado izquierdo es iguala \( e^{\frac{(x-\mu)^{2}}{4\sigma^{2}}} \) y, como seguramente viste en clase, la integral \( \int_{-\infty}^{\infty}xe^{\frac{(x-\mu)^{2}}{4\sigma^{2}}}\,dx \) no converge. Sin embargo, considerando \( e^{\frac{-(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}, \) la integral \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{\frac{-(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx \) sí que existe (es igual a \( \mu\sigma\sqrt{2\pi} \)).

 Tal vez al plantear el ejercicio se quiso escribir \( e^{\frac{-(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}} \) en lugar de \( e^{\big(\frac{-(x-\mu)}{2\sigma}\big)^{2}}. \) De hecho si se quiere que \( f \) sea una función de densidad, se debió escribir \( f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}, \) como comenta el_manco más arriba.

\( \bullet \) Sobre el planteamiento que hiciste, sí lo tenías bien. Pero tienes que tener en cuenta que en lugar de \( F[{\color{red}X}] \) debiste escribir \( F[{\color{blue}x}]. \) Mientras que (asumiendo que \( X \) es una variable con función de densidad \( f \)) la expresión \( E[{\color{blue}X}] \) sí la escribiste bien. (Es decir, nota la diferencia entre \( X \) y \( x \)).

Saludos,

Enrique.