[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio

Si \( p \) es un primo \( \geq{5} \) entonces \( 1^2+2^2+3^2+...+(p-1)^2 \equiv{0} \) mod \( p \)

Lo que he hecho

\( p |1^2+2^2+3^2+...+(p-1)^2 \)
\( p |\displaystyle\frac{(p-1)((p-1)+1)(2(p-1)+1)}{6} \)
\( p |\displaystyle\frac{(p-1)p(2p-1)}{6} \)

Debo probar que \( 2 \) y \( 3 \) divide a \( (p-1)p(2p-1) \) y no se muy bien como hacerlo.


De antemano gracias


Saludos

EDITADO: Enunciado estaba incompleto

[EnRlquE]

Hola cristianoceli.

 Imagino que lo que se quiere probar es que \( p|(1^{2}+2^{2}+\dots+[p-1]^{2}) \). Para esto observa que, en general, si tenemos la expresión \( (n-1)n(2n-1) \), entonces \( 6|(n-1)n(2n-1). \) Nota que como \( n-1 \) y \( n \) son números consecutivos, entonces \( 2|(n-1)n \). Además, si ni \( n-1 \) ni \( n \) son múltiplos de tres, entonces \( n+1 \) y \( n-2 \) son múltiplos de tres. Luego \( 3|(n+1+n-2) \).

 En nuestro problema tenemos que \( 6|(p-1)p(2p-1) \) y además \( p|(p-1)p(2p-1). \) A partir de esto deduce que \( p|\frac{(p-1)p(2p-1)}{6}. \) Trata de terminar y si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

[cristianoceli]

Hola cristianoceli.

 Imagino que lo que se quiere probar es que \( p|(1^{2}+2^{2}+\dots+[p-1]^{2}) \). Para esto observa que, en general, si tenemos la expresión \( (n-1)n(2n-1) \), entonces \( 6|(n-1)n(2n-1). \) Nota que como \( n-1 \) y \( n \) son números consecutivos, entonces \( 2|(n-1)n \). Además, si ni \( n-1 \) ni \( n \) son múltiplos de tres, entonces \( n+1 \) y \( n-2 \) son múltiplos de tres. Luego \( 3|(n+1+n-2) \).

 En nuestro problema tenemos que \( 6|(p-1)p(2p-1) \) y además \( p|(p-1)p(2p-1). \) A partir de esto deduce que \( p|\frac{(p-1)p(2p-1)}{6}. \) Trata de terminar y si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

Gracias me queda claro tenia claro que era múltiplo de 2 pero de 3 no lo podía ver.
Muchas gracias EnRIquE por lo de hoy y por lo de siempre.


Saludos