Hola Nico16nicolas.
Bienvenido al foro. Esta es una forma de resolver el ejercicio, básicamente se reduce a aplicar el
teorema de Menelao tres veces. Para esto consideremos la siguiente figura, donde \( m,\;n,\;a,\;b,\;c,\;x,\;y \) y \( z \) son las medidas de los segmentos indicados
Nuestro objetivo es probar que \( \frac{1}{x}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \). Como \( G \) es baricentro debemos tener en cuenta que \( \frac{BG}{GP}=2 \). Aplicando el teorema de Menelao en \( ABGQ \) tenemos que \( \frac{b}{c}\cdot\frac{BG}{GP}\cdot\frac{m+a}{2m+a}=1, \) de donde obtenemos la razón entre \( b \) y \( c \), en particular se deduce que \( \frac{b+c}{c}=\frac{4m+3a}{2(m+a)} \), que nos será útil más adelante. Si ahora aplicamos el teorema de Menelao en \( AQGB \) resulta \( \frac{m}{m+a}\cdot\frac{z}{x}\cdot\frac{c}{b+c}=1, \) de donde deducimos
\( \displaystyle\frac{z}{x}=\frac{b+c}{c}\cdot\frac{m+a}{m}=\frac{4m+3a}{2(m+a)}\cdot\frac{m+a}{m}=2+\frac{3a}{2m}.\qquad\quad(\alpha) \)
Por otro lado, aplicando nuevamente el teorema de Menelao, esta vez en \( PQNB \), obtenemos \( \frac{m}{a}\cdot\frac{z-y}{y}\cdot\frac{2}{3}=1, \) de donde \( \frac{3a}{2m}=\frac{z}{y}-1. \) Reemplazando esto último en \( (\alpha) \) concluimos que
\( \dfrac{z}{x}=2+\Big(\dfrac{z}{y}-1\Big)=1+\dfrac{z}{y}, \)
que es equivalente a lo que buscamos.
Intenta seguir estos pasos y si tienes alguna duda, pregunta.
Saludos,
Enrique.
P.D: Te recomiendo que leas las reglas del foro, verás que
las expresiones matemáticas tienen que escribirse usando \( \LaTeX \).
