Revisando, creo que ibas por buen camino
Editado\( \displaystyle\binom{p}{k}=\dfrac{p!}{k!(p-k)!} \)
Que claramente es divisible por "p". Gracias a que ya no tenemos los valores extremos de la expansión del binomio.
Tienes una explicación de esto último, aqui
https://es.wikipedia.org/wiki/Peque%C3%B1o_teorema_de_Fermat#Demostraci.C3.B3n Donde dice:
Para la demostración también se utiliza la propiedad de que si p es un número primo, entonces el coeficiente binomial \( \displaystyle\binom{p}{n} \) es divisible por p, para todo n, tal que 1≤ n<p. Esto es así puesto que el coeficiente binomial se define como:
\( \displaystyle\binom{p}{n}= \dfrac{p !}{ ( p − n ) ! ⋅ n !} \)
Donde el signo ! corresponde al factorial de un número, que indica la multiplicación de todos los números naturales menores o iguales a dicho número, por ejemplo, p! = p·(p-1)·(p-2)·...·2·1. Puesto que en el denominador, los factoriales de los números involucran números que son menores que el número primo p, estos no pueden contener p ni dividir al número primo p del numerador, así pues, el coeficiente es divisible por p.
...
\( p | \displaystyle\sum_{{\bf\color{red}k}=1}^{P-1} \displaystyle{p \choose k} a^p b^{p-k} \)
...
Te añado mi explicación\( \displaystyle\binom{p}{k}=\dfrac{p!}{k!(p-k)!} \) \( 1\leq k\leq p-1 \)
Los coeficientes de la expansión binomial son números enteros, por lo que sabemos que \( k!(p-k)!|p! \)
pero dado que k<p y que p es primo podemos decir que ninguno de los factores de k! divide a p
de la misma forma para (p-k)! mostramos que ninguno de los factores de (p-k)! dividen a p
Por lo que \( \dfrac{(p-1)!}{k!(p-k)!}\in\mathbb{Z} \) Es decir \( k!(p-k)!|(p-1)! \)
Y todos los coeficientes\( \displaystyle\binom{p}{k}=p\dfrac{(p-1)!}{k!(p-k)!} \) para \( 1\leq k\leq p-1 \) son divisibles por p
