Hola
Bueno, voy a plantear a lo que termine llegando, se que esta mal pero tal vez me puedas decir cual es el error.
Utilizando esto que dijiste pero usando el indice superior de la sumatoria como n en lugar de m
\( \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{k=0}^{\color{red}n\color{black}}{\displaystyle\binom{n-k}{m-k}}=
\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{k=0}^{\color{red}n\color{black}}{\displaystyle\binom{n-k}{n-m}}=
\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{k=0}^{\color{red}n\color{black}}{\displaystyle\binom{(n-m)+(m-k)}{n-m}}=
\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{s=0}^{\color{red}n\color{black}}{\displaystyle\binom{(n-m)+s}{n-m}} \)
Hasta aquí impecable, todo igual.
¡No!. El problema es que si llegas hasta \( n \), hay un fallo en el desarrollo anterior.
Este paso es falso:
\( \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{k=0}^{\color{red}n\color{black}}{\displaystyle\binom{(n-m)+(m-k)}{n-m}}=
\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{s=0}^{\color{red}n\color{black}}{\displaystyle\binom{(n-m)+s}{n-m}} \)
Si hacemos el cambio de ínidice \( m-k=s \), es decir, \( s=m-k \) entonces si \( k \) varía entre \( 0 \) y \( n \), \( s \) varía entre \( m-n \) y \( n \) (y no entre \( 0 \) y \( n \)).
De todas formas la segunda vez que te respondí no tenía mucho tiempo y me precipité un poco.
La cosa es mucho más sencilla; el enunciado original tal como lo has escrito puede ser correcto...¡pero es exactamente el mismo que con la corrección que yo te propuse!.
Precisamente porque \( \displaystyle\binom{p}{q}=0 \) si \( q>p \), en el enunciado original:
\(
\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{m}{k}}{\displaystyle\binom{n}{k}}} \textrm{con }n\geq{m\geq{0}} \)
los sumandos del numerador para \( k>m \) son nulos y por tanto es lo mismo que si sólo sumásemos hasta \( k=m \).
\(
\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{m}{k}}{\displaystyle\binom{n}{k}}} =\displaystyle\sum_{k=0}^m{\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{m}{k}}{\displaystyle\binom{n}{k}}} \)
Recapitulando te quedaría entonces:
\(
\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{m}{k}}{\displaystyle\binom{n}{k}}} =\displaystyle\sum_{k=0}^m{\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{m}{k}}{\displaystyle\binom{n}{k}}} =\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{k=0}^m{\displaystyle\binom{n-k}{m-k}}= \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{k=0}^m{\displaystyle\binom{n-k}{n-m}}= \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{k=0}^m{\displaystyle\binom{(n-m)+(m-k)}{n-m}}= \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{s=0}^m{\displaystyle\binom{(n-m)+s}{n-m}} \)
Utilizando esto:
\( \displaystyle\sum_{s=0}^m{}\displaystyle\binom{N+s}{N}=\displaystyle\binom{N+m+1}{N+1} \)
\(
\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{n}{m}} \displaystyle\sum_{s=0}^m{\displaystyle\binom{(n-m)+s}{n-m}}=
\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n-m+m+1}{n-m+1}}{\displaystyle\binom{n}{m}}
= \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n+1}{n-m+1}}{\displaystyle\binom{n}{m}}=
\dfrac{\dfrac{(n+1)!}{(n-m+1)!(n+1-(n-m+1))!}}{\dfrac{n!}{(n-m)!m!}}
=\dfrac{(n+1)!(m)!(n-m)!}{(n-m+1)!m!n!}=\dfrac{n+1}{n-m+1} \)
Saludos.
