[crisvill]

Tengo una duda al respecto sobre los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.
Al determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
1.- ¿Por qué cuando su solución no es única, la asignación de los valores de las variables libres se corresponden con los vectores canónicos de ℝ^K donde k es el número de variables libres?
2.- ¿Qué tiene esto que ver con la idea de Base de un espacio vectorial y el conjunto solución del sistema?

Si bien entiendo a la cómo determinar la solución de dicho sistema, utilizando el método de Gauss, y aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, no logro comprender lo que busca el profesor con las anteriores preguntas.

Espero alguien pueda aclararme la duda, debido a que una cosa es comprender el proceso para resolver un problema y otro es ir más allá en el análisis de las implicaciones de dicha solución.

Saludos Cordiales.

[Luis Fuentes]

Hola

Bienvenido al foro.

Tengo una duda al respecto sobre los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.
Al determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
1.- ¿Por qué cuando su solución no es única, la asignación de los valores de las variables libres se corresponden con los vectores canónicos de ℝ^K donde k es el número de variables libres?

No me queda muy claro de a que asignación te refieres. Quizá tal como te han explicado las cosas tiene sentido la pregunta; pero fuera de contexto no la veo.

2.- ¿Qué tiene esto que ver con la idea de Base de un espacio vectorial y el conjunto solución del sistema?

De nuevo tendría que saber que cosas sabes sobre espacios vectoriales, quizá aplicaciones lineales o en general que soporte teórico te han dado en la explicación de los sistemas lineales.

La cuestión es que si la matriz de coeficientes del sistema tiene rango \( r \), se puede probar que la solución es un subespacio vectorial de dimensión \( k=n-r \), siendo \( n \) el número de incógnitas.

El como demostrarlo depende mucho de la teoría en la que uno pueda basarse.

Saludos.

[crisvill]

Hola

Bienvenido al foro.

Tengo una duda al respecto sobre los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.
Al determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
1.- ¿Por qué cuando su solución no es única, la asignación de los valores de las variables libres se corresponden con los vectores canónicos de ℝ^K donde k es el número de variables libres?

No me queda muy claro de a que asignación te refieres. Quizá tal como te han explicado las cosas tiene sentido la pregunta; pero fuera de contexto no la veo.

2.- ¿Qué tiene esto que ver con la idea de Base de un espacio vectorial y el conjunto solución del sistema?

De nuevo tendría que saber que cosas sabes sobre espacios vectoriales, quizá aplicaciones lineales o en general que soporte teórico te han dado en la explicación de los sistemas lineales.

La cuestión es que si la matriz de coeficientes del sistema tiene rango \( r \), se puede probar que la solución es un subespacio vectorial de dimensión \( k=n-r \), siendo \( n \) el número de incógnitas.

El como demostrarlo depende mucho de la teoría en la que uno pueda basarse.

Saludos.

En cuanto a la asignación de valores, imagino que el profesor se refiere a los n valores que pueden tomar las variables (incógnitas) cuando el sistema tiene infinitas soluciones. Supongo que se refiere a que las soluciones siguen siendo ecuaciones donde una es parte de la otra (solucion por sustitución), y que están relacionado con los vectores canónicos, el tema es que no se muy bien si los vectores canónicos pueden ser más de los tres que se mencionan en todos los artículos sobre el tema (i,j,k) y cual es su relación con el conjunto de soluciones del sistema cuando la solución no es trivial.
Mi duda nace porque el profesor tiene por Hobby plantear las preguntas con respuestas sencillas de forma innecesariamente extraña.

En cuanto a la otra pregunta, creo que tu respuesta es la que busco, ahora bien, ¿cómo se puede probar que "si la matriz tiene rango r, la solución es un subespacio vectorial de dimención k-n-r, siendo n el número de incógnitas"?

De antemano gracias por tomarte la molestia en responder.

[sugata]

Los vectores canónicos son tantos como la dimensión del espacio en el que estemos.
Por ejemplo en \( \mathbb{R}^5 \) tenemos.
\( (1,0,0,0,0);(0,1,0,0,0);(0,0,1,0,0);(0,0,0,1,0);(0,0,0,0,1) \)

Date cuenta que con la combinación lineal de estos vectores podemos tener cualquier vector de este espacio.

[Fernando Revilla]

¿cómo se puede probar que "si la matriz tiene rango r, la solución es un subespacio vectorial de dimención k-n-r, siendo n el número de incógnitas"?

Mira el problema 3 aquí: http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/28/ecuaciones-de-los-subespacios/