[Michel]

Sea P un punto. Construir un triángulo equilátero conociendo las distancias PA, PB y PC.

[sugata]

Hola Michel.
Lo he intentado como suele hacer usted, dibujando el resultado primero, y lo único que veo es que las distancias a los vértices desde el punto que sea, generan circunferencias concentricas.....
¿Tendría algo que ver con las equivalencias que quiere que se demuestren en  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=90486.0;topicseen?

[Michel]

Hola sugata.

Toma un papel, dibuja a mano las tres circunferencias de centro común P.

Coloca, a ojímetro, el triángulo ABC, como indica la figura adjunta.

Considera que el ángulo del triángulo A del triángulo vale 60º.

¿Sabes algo de giros en el plano?

Conjuguemos el verbo "tutear": yo te tuteo, tu NO me tuteas,...

Saludos.

[sugata]

Cogido lo del tuteo
Respecto a giros en geometría sintética, creo que si sabría girar una recta o ángulo en un punto, perteneciente o no a la recta o ángulo; y si me hablas de propiedades de giro, creo que la única que conozco es que mantiene las longitudes y ángulos.

Echo un ojo al dibujo y me pongo a meditarlo.

[Michel]

SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO, siendo ABC (prescindimos de momento del AB'C') un triángulo que cumple las condiciones del enunciado.

Observamos que por un giro de 60º de centro A (en la circunferencia exterior) el punto C (de la intermedia), se transforma en el punto B (de la interior).

Entonces la construcción es ésta: se toma un punto arbitrario A en la exterior; se gira la circunferencia intermedia 60º alrededor de A; la circunferencia transformada (de puntos) corta a la exterior en B; por el giro opuesto del anterior, B se transforma en C, y ya tenemos los tres vértices del triángulo pedido.

[sugata]

Que estúpido al no verlo.
Al ser un triángulo equilátero, un giro de \( 60^\circ{} \) hace que se cambien los vértices.