[Michel]

Construir un triángulo ABC, rectángulo en A, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita y el ángulo que forman la altura y la mediana trazadas desde el vértice C.

[EnRlquE]

Hola michel.

 Adjunto mi solución bajo el spoiler.

Spoiler

Supongamos que el ángulo que conocemos sea \( \alpha \) y que el radio de la circunferencia cirncunscrita sea \( r \). Entonces, por un lado podemos construir un triángulo rectángulo \( C'A'M' \) recto en \( A' \) y tal que \( m\angle A'C'M'=\alpha \). En este triángulo prolongamos \( \overline{A'M'} \) hasta \( B' \) de modo que \( A'M'=M'B' \) como se muestra en la siguiente figura.

 Finalmente, con centro en un punto \( O \) dibujamos la circunferencia de radio \( r \) en la que ubicamos los puntos \( A,\;B \) y \( C \) de modo que \( O\in\overline{BC} \), \( \overline{B'C'}\parallel \overline{BC} \) y \( \overline{A'B'}\parallel \overline{AB} \). El triángulo \( ABC \) obtenido de esta forma satisface lo que necesitamos.

[cerrar]

Saludos,

Enrique.

[Michel]

Otra forma.

Supongamos el problema resuelto, siendo AH la altura AO la mediana trazadas desde A, vértice del ángulo recto en el triángulo ABC pedido.

Se sabe (se demuestra fácilmente) que en todo triángulo rectángulo, la mediana correspondiente a la hipotenusa es la mitad de ésta.

Observamos que puede construirse el triángulo rectángulo AHO pues conocemos la hipotenusa, 2R, y un ángulo agudo, 2, complemento del 1, dado.

La construcción es:

1. Triángulo rectángulo AHO.

2. Circunferencia de centro O y radio R, que corta a la recta HO en los puntos B y C, los otros dos vértices del triángulo pedido.

[sugata]

Se sabe (se demuestra fácilmente) que en todo triángulo rectángulo, la mediana correspondiente a la hipotenusa es la mitad de ésta.

Esto no lo conocía y me parece interesantísimo.
Trataré de demostrarlo.

Muchas gracias Michel.

[Michel]

Hola sugata y hola a todos.

Sin ánimo de sentar cátedra (¡Dios me libre!) y con la sana intención de que mi ya larga experiencia (hay quien dice que la experiencia es personal e intransferible, como el DNI) pueda ser de provecho, me permito los siguientes consejos:

1. En los problemas de construcciones (alguien ha dicho que estos problemas son los más geométricos) da buenos resultados empezar SUPONIENDO EL PROBLEMA RESUELTO, porque es frecuente no saber cómo meterle mano; en cambio, dibujando la figura y observádola detenidamente, puede transformarse el problema en otro u otros secillos.

2. A medida que se avanza en el conocimiento de la Geometría, van apareciendo teoremas nuevos, deducidos de otros anteriores, ya demostrados, que conviene memorizar.

Por ejemplo: del teorema la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos pueden deducirse:

1. En todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
2. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a cuatro rectos.
3. En todo triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios.
4. Cada ángulo de un triángulo equilátero es igual a 60º.

Perdón por el atrevimiento, si alguien lo considera como tal.

Saludos.

[sugata]

Toda ayuda para los novatos es poca.
Gracias por el consejo Michel.