[MSenrob]

Buenas:

Demostrar que:

\( \displaystyle\frac{|x+y|}{1+|x+y|}\leq{\displaystyle\frac{|x|}{1+|x|}+\displaystyle\frac{|y|}{1+|y|}} \)

He probado a descomponer la desigualdad en otras dos: una con los denominadores y otra con los numeradores. La de los numeradores puede justificarse mediante la desigualdad triangular, ¿pero y la de los denominadores?

Un saludo.

[EnRlquE]

Hola MSenrob.

 Observa que la función \( f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \) definida por \( f(t)=\frac{t}{1+t}=1-\frac{1}{1+t} \) es creciente. Luego, como \( |x+y|\leq|x|+|y| \), tenemos que

\( \begin{align*}\dfrac{|x+y|}{1+|x+y|}&\leq\frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}\\
&=\frac{|x|}{1+|x|+|y|}+\frac{|y|}{1+|x|+|y|}\\
&\leq\frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}.
\end{align*} \)

Saludos,

Enrique.

Nota: Mensaje editado.

[MSenrob]

Entiendo la demostración, ¿pero por qué es necesario saber que esa función es decreciente? Para poder invertir la desigualdad triangular en el denominador, ¿no?

Saludos.

[EnRlquE]

Hola MSenrob.

 Perdón, quise escribir creciente, ahora lo corrijo. Lo que usamos en la primera de las desigualdades es \( f(|x+y|)\leq f(|x|+|y|) \), gracias a que \( |x+y|\leq|x|+|y| \). Nota que esto no solamente nos permite trabajar en el denominador o numerador por separado, más bien conseguimos algo conjunto.

Saludos,

Enrique.

[MSenrob]

Ahora sí que lo he entendido. Muchas gracias .

Un saludo.