Hola Samuelgc.
Supongamos por contradicción que existan \( a,b\in\bar{H} \) tales que \( ab\neq ba \). Como \( G \) es Hausdorff, existen dos abiertos disjuntos \( U \) y \( V \) tales que \( ab\in U \) y \( ba\in V \). Por otro lado, de la continuidad del producto \( \cdot:G\times G\to G \), podemos deducir que existen abiertos \( W_{1}\ni a \), \( W_{2}\ni b \) tales que \( W_{1}W_{2}\subset U \) y \( W_{2}W_{1}\subset V \). En particular \( W_{1}W_{2}\cap W_{2}W_{1}=\emptyset \). Sin embago, como \( a,b\in\bar{H} \), existen \( \hat{a}\in W_{1}\cap H \) y \( \hat{b}\in W_{2}\cap H \), esto implica que \( \hat{a}\hat{b}=\hat{b}\hat{a}\in W_{1}W_{2}\cap W_{2}W_{1}=\emptyset \), que es absurdo.
Sobre el contraejemplo que mencionas, ahora no se, no lo he pensado mucho. Pero teniendo presente que una condición necesaria y suficiente para que un grupo topológico sea Hausdorff es que el subgrupo trivial \( \{e\} \) sea cerrado, podemos pensar en buscar algún grupo topológico no Hausdorff donde la clausura de \( \{e\} \) (que es trivialmente abeliano) tenga por lo menos dos elementos que no conmuten.
Saludos,
Enrique.
