Supongamos que \( A \) sea el vértice que conocemos del cuadrado y que \( B \) y \( C \) sean los puntos en los otros dos lados que no contienen a \( A \), uno en cada lado. Como se muestra en la siguiente figura
Primero ubicamos el punto \( O \) de tal forma que el triángulo \( AOB \) sea recto en \( O \) y además \( OA=OB \). Esto se puede conseguir ubicando primero el punto medio \( M \) de \( \overline{AB} \), enseguida levantando una perpendicular a \( \overline{AB} \) que pase por \( M \) y luego ubicando \( O \) de modo que \( AM=MO \), como en la figura.
A continuación trazamos la circunferencia centrada en \( O \) y de radio \( OA \). Por otro lado trazamos una segunda circunferencia que tenga a \( \overline{BC} \) como su diámetro. Esto último puede hacerse ubicando primero el punto medio de \( \overline{BC} \).
Finalmente ubicamos el punto \( P \) en la intersección de las circunferencias, como se señala en la figura. Este punto es tal que \( m\angle APB=45^{\circ} \), pues la medida del arco \( AB \) es de \( \color{red}90^{\circ} \); y además \( m\angle BPC=90^{\circ} \), pues \( \overline{BC} \) es diámetro. Por tanto \( P \) es el vértice opuesto a \( A \) en el cuadrado que buscamos. Sólo queda prolongar \( \overline{PB} \) y \( \overline{PC} \) y hacer un par de trazos adicionales para terminar de dibujar el cuadrado.
Nota: Las partes en rojo han sido editadas.
