Hola,
como \( 1=0,9999\ldots=0,9+0,09+0,009+0,0009+\ldots \)
¿Se puede escribir "1" utilizando un sumatorio? Tal que así:
\( 1=9\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{10^n}} \)
Sé que no tiene ninguna utilidad pero estoy aprendiendo a utilizar los sumatorios y se me ha ocurrido.
Saludos.
Sí, señor, se ve que te gusta investigar y analizar las cosas por ti mismo.
Te cuento algo de lo que me di cuenta hace bastantes años; y lo he contado varias veces ya por aquí en algunos hilos en los que ha salido el tema.
En cuanto a que sirva o no sirva para nada es relativo a lo que te refieras; si se puede escribir 1 es más cómodo que escribir “0,9999...”, eso desde luego.
Piensa que cuando dividimos a mano un número menor que el divisor ponemos un cero (o varios) detrás de ese número para que sea mayor o igual que el divisor. Lo que estamos haciendo es subdividir la unidad en 10 partes, pero esto es arbitrario, trabajamos en base 10; sin embargo, otras civilizaciones antiguas usaron otras bases, como base 12.
Si, por ejemplo, tenemos \( 2/3 \), con esas dos unidades del numerador hacemos 20 trozos más pequeños, 10 partes por cada unidad. Lo que pasa ya lo sabes, la división no se acaba; y es porque 20 no es divisible entre 3; y al poner en el cociente (con un cero con una coma en primer lugar) un 6 y multiplicar por 3, el resto va a ser 2 y al añadir otro cero para seguir haciendo subpartes más pequeñas tenemos otro 20, que sigue sin ser divisible entre 3; en consecuencia no se acaba de dividir por repetirse siempre el mismo resto, que produce un número no divisible entre el divisor.
Pero fíjate que siempre podemos elegir partir la unidad, en vez de en 10 partes, en un número que fuera múltiplo del divisor (en este caso 3 o múltiplo de 3) y entonces sí que se acaba la división, no sale un número periódico (no te pongo ningún ejemplo, para que juegues tú mismo con la idea y te diviertas)
Cuando usamos las matemáticas de forma práctica, en las cosas más cotidianas de la vida real, eso es lo que hacemos. Tres personas que se reparten una barra de pan no la hacen 10 partes y después otras 10 partes... y así hasta no acabar (entre otras cosas porque la barra quedaría hecha miguitas enseguida). Hacen tres trozos iguales, usan de base el divisor, el que sea. También podrían hacer 6 partes y tocarían a 2 trozos, etc.
Igualmente, en las fracciones, al sumar tres tercios y poner 1, o cinco quintos y poner 1... o lo que sea, sin darnos cuenta estamos usando bases particulares para cada caso, que es la base del divisor, bases cambiantes que se adaptan a los casos, no una base fija como cuando operamos en base 10.
Y el “tamaño” de la unidad no cambia ya la subdividamos en las partes que sea, así que el resultado es equivalente, es el mismo número escrito con símbolos diferentes. Objetivamente, esto “36”, no es nada si no se dice o se sobreentiende en qué base está escrito (más o menos como con las unidades físicas).
De esta forma, todo número periódico, en realidad, no es más que un número representado en una base que no es apropiada según su divisibilidad; es decir, un número periódico, lo que es el número en sí, no tiene infinitas cifras, las tiene su representación.
Otra de las consecuencias de esto (algo que también observé por mí mismo sin que me lo enseñara nadie) es que si dividimos cualquier número entero por 2 ó por 5, nunca sale un número de los llamados periódicos; y esto es debido, como ya estarás suponiendo, a que 2 y 5 son los factores primos de la base que utilizamos, 10; lo cual también nos hace ver de forma casi inmediata que cualquier número con decimales, no periódico, se puede escribir como un número periódico si elegimos una base, una subdivisión para la unidad, que no se ajuste a su divisibilidad.
Para lo que más me sirvió esto fue para distinguir (de una manera distinta a la que se enseña en los colegios y las universidades) entre números racionales e irracionales; para los racionales siempre existe una representación de finitas cifras usando una base adecuada, para los irracionales, en cambio, nunca existe.
Saludos.
