[Xaora]

Hola!
A ver si alguien me puede ayudar con este problema:
Resolver un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia , sabiendo que los lados AB y AD miden 6 cm y 5 cm, respectivamente, que el ángulo A mide 30º y que B mide 60º.
Muchas gracias!

[EnRlquE]

Hola Xaora.

 ¿A qué te refieres exactamente con "resolver un cuadrilátero"? En el problema si prolongamos \( \overline{AD} \) y \( \overline{BC} \) hasta cortarse en un punto, que llamaremos \( E \), resulta que el ángulo \( AEB \) es recto. Luego \( BE=3 \) y \( AE=3\sqrt{3} \). De esto se deduce que \( DE=3\sqrt{3}-5 \). Si continuamos podemos encontrar \( BC \) y \( CD \) trazando un paralela a \( \overline{BC} \) que pase por \( D \) y haciendo algunos cálculos más. Tal vez esto te sirva de algo. Si nos aclaras la pregunta y tus dificultades podríamos ayudarte mejor.

Saludos,

Enrique.

[Xaora]

Lo que puse es lo que dice, exactamente, el enunciado del problema.
Con mis conocimientos de matemáticas, creo, que resolver se refiere a calcular los lados y los ángulos que faltan.
Gracias!

[EnRlquE]

Entiendo, ¿intentaste seguir las indicaciones de mi anterior respuesta?, ¿te surgió alguna duda?.

 Podemos continuar con lo que anoté antes. Siguiendo con las mismas notaciones tenemos, sabemos que \( DE=3\sqrt{3}-5 \). Por otro lado el ángulo \( CDE \) mide \( 60^{\circ} \), pues estamos en un cuadrilátero inscriptible. Entonces en el triángulo rectángulo \( DEC \) obtenemos que \( EC=\sqrt{3}(3\sqrt{3}-5)=9-5\sqrt{3} \). Esto implica que \( BC=BE-EC=3-(9-5\sqrt{3})=5\sqrt{3}-6 \). Además \( CD=2DE \), con lo que terminamos de encontrar las longitudes de todos los lados del cuadrilátero \( ABCD \).

 Si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

[Xaora]

Lo entiendo todo, pero yo en el triángulo DEC, calculé el lado DC y me da:
\( DC=\frac{18-10\sqrt{3}}{3} \)
Después calculo EC y obtengo:
\( EC=\frac{9-5\sqrt{3}}{3} \)
Con lo que calculo el lado BC, que me da:
\( BC=\frac{5\sqrt{3}}{3} \)
Con lo que tendría los dos lados que me faltan, pero el lado BC no me da como a ti.
Un saludo!

[EnRlquE]

Hola Xaora.

 Qué extraño. El triángulo \( DEC \) es recto en \( E \) y e ángulo \( D \) mide \( 60^{\circ} \). Entonces si concordamos en que \( DE=3\sqrt{3}-5 \), se deduce que la hipotenusa mide el doble, es decir \( DC=2(DE)=6\sqrt{3}-10 \). También podemos calcular \( EC=\sqrt{3}(DE)=9-5\sqrt{3} \). Todo esto coincide con los cálculos que hice antes. Tal vez si nos muestras alguna de las cuentas que haces podamos ver lo que está pasando.

Saludos,

Enrique.

P.D: No olvides escribir tus expresiones matemáticas entre los símbolos [tex]  y  [/tex] para que aparezcan correctamente en tus mensajes.

[Xaora]

Para empezar, perdón por lo de las fórmulas.
En el triángulo CDE, con el cos 30º calculé el lado DC, que me dá:
\( DC=\frac{18-10\sqrt{3}}{3} \)
Después a ese triángulo apliqué al mismo ángulo el seno y calculé el lado EC:
\( EC=\frac{9-5\sqrt{3}}{3} \)
Y por último, calculé el lado BC:
BE=BC+CE
\( BC=\frac{5\sqrt{3}}{3} \)
Si con eses lados aplico el teorema de pitágoras, los catetos al cuadrado me dan la hipotenusa al cuadrado.
¿Qué está mal?

[EnRlquE]

Hola Xaora.

 Básicamente me dices lo mismo que antes. Pero, desde el cálculo inicial, no sé cómo obtienes la longitud del lado \( DC \) usando el \( \cos 30^{\circ} \). Nota que lo que conocemos es \( \overline{DE} \) que es el cateto opuesto al ángulo de \( 30^{\circ} \). Entonces sabiendo que \( DE=3\sqrt{3}-5 \) podemos deducir que \( CD=2(ED)=6\sqrt{3}-10 \). Antes de avanzar con las demás cuentas ¿estás de acuerdo con esto?

Saludos,

Enrique.

P.D: Ojalá puedas borrar los mensajes en rojo de arriba (es sólo para asegurarme que sabes cómo modificar tus propios mensajes).

[Xaora]

No estoy de acuerdo. Al prolongar los lados AD y BC se cortan en un punto E y nos quedan dos triángulos rectángulos. El ABE y el DCE. En el primero de los triángulos el ángulo A vale 30º, el B vale 60º y el E 90º. en el segundo el ángulo D vale 30º, puesto que el lado DC es paralelo al Ab y el DE es prolongación del AD. El ángulo C vale 60º y el ángulo E es de 90º. Por lo tanto al calcular el lado DE es el cateto contiguo del ángulo D y el lado DC es la hipotenusa.

[EnRlquE]

Hola Xaora.

 Bien, ya creo saber lo que está pasando. El lado \( \overline{AB} \) no es paralelo al lado \( \overline{DC} \). Recuerda que el cuadrilátero \( ABCD \) es inscriptible, no necesariamente es un trapecio (en nuestro caso no lo es). Lo que se cumple es que la suma de las medidas de los ángulos internos opuestos del cuadrilátero es \( 180^{\circ} \), como se muestra en la siguiente figura

De esto se sigue que el ángulo \( CDE \) mide \( 60^{\circ} \) y todas las demás cuentas que hacemos ya deberían coincidir. Si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.