Hola zimbawe.
Por simplicidad llamaremos a las circunferencias \( {\cal C}_{1},\,{\cal C}_{2}, \) etc. de acuerdo al radio que tengan; del mismo modo llamaremos \( O_{1},\,O_{2}, \) etc. a sus correspondientes centros. Entonces, por ejemplo para encontrar \( R_{3} \) puedes unir \( O_{2} \) con \( O_{3} \), además de unir \( O_{2} \) y \( O_{3} \) con todos los puntos de tangencia con las rectas (tangentes) dibujadas. Verás que se formará un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \( R_{2}+R_{3} \) y uno de sus catetos de longitud \( R_{3} \). En el trapecio cuyas bases miden \( R_{3} \) y \( R_{2} \) podemos dibujar otro triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \( R_{2}+R_{3} \) y uno de sus catetos de longitud \( R_{2}-R_{3} \). Finalmente debes tener en cuenta que en la circunferencia \( {\cal C}_{2} \) tenemos una situación como la de la siguiente figura
donde \( (PA)^{2}=PB\cdot PC \). Juntando todo esto y tomando en cuenta que \( R_{2}=1 \) y \( R_{1}=2 \) deberías poder concluir. Algo similar puede hacerse para encontrar el otro radio. Trata de seguir estas indicaciones y si tienes dificultades o algo no está muy claro, pregunta.
Saludos,
Enrique.
