Reformulo mi pregunta. Si a partir de cierta estructura, construyo dos modelos para otra (o simplemente dos construcciones, que no responden a calzar en ciertos axiomas) que se espere representen a cierta noción relacionada con la estructura primera, ¿si existe un isomorfismo entre ellas, representan ambas efectivamente a la misma noción?
Toma por ejemplo las dos construcciones siguientes:
\( A=\{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x^2+y^2 = 4\} \) \( B=\{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x^2+y^2=9\} \)
Parece que tengas claro que no se puede hablar de isomorfismo entre \( A \) y \( B \) si no especificas en ambos conjuntos alguna estructura que quieras conservar (o, en términos más abstractos, si no especificas una
categoría que determine el concepto de isomorfismo). Por ejemplo, así, sin más datos, podríamos plantearnos si \( A \) y \( B \) son isomorfos en la categoría de los conjuntos, lo cual equivale a que exista una biyección entre ambos conjuntos, y la respuesta es afirmativa.
Pero sería más natural considerar las estructuras \( (A, d_A) \) y \( (B,d_B) \) donde \( d_A \) es la distancia en \( A \) dada por \( d_A((x,y), (x',y'))=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2} \), mientras que \( d_B \) es la distancia definida del mismo modo, pero sobre los puntos de \( B \).
Entonces, ante la pregunta de si \( (A, d_A) \) y \( (B,d_B) \) son isomorfos como espacios métricos, es decir, si existe una biyección entre A y B que conserve las distancias, la respuesta es negativa, pues \( A \) es una circunferencia de diámetro 4 y B, en cambio, tiene diámetro 6.
Pero, por otra parte, podemos considerar los espacios topológicos \( (A,\tau_A) \) y \( (B,\tau_B) \), donde \( \tau_A \) y \( \tau_B \) son las topologías inducidas por las métricas que estamos considerando, y ante la pregunta de si \( (A,\tau_A) \) y \( (B,\tau_B) \) son isomorfos como espacios topológicos (es decir, lo que normalmente se llama ser homeomorfos), la respuesta es afirmativa, porque la biyección \( f:A\longrightarrow B \) dada por \( f(x,y)=(3/2x, 3/2y) \) es un homeomorfismo, es decir, biyecta los abiertos de A con los abiertos de B.
Y ahora vienes tú y preguntas ¿representan \( (A,\tau_A) \) y \( (B,\tau_B) \) el mismo concepto? Pues depende. Para un topólogo sí, pero un geómetra te dirá que, aunque se trate de dos circunferencias homeomorfas, para él no son lo mismo, porque para él el tamaño importa, y se trata de circunferencias de diámetros distintos, que no son isomorfas como espacios métricos. Si consideras que eso es trampa, porque tú preguntas por \( (A,\tau_A) \) y \( (B,\tau_B) \) y no por \( (A, d_A) \) y \( (B,d_B) \), entonces la respuesta a tu pregunta es que sí, que puedes pensar que estructuras isomorfas representan el mismo concepto, pero digo "puedes pensar" porque eso es sólo una forma de interpretar el hecho de que todo lo que puedas hacer con una lo puedes hacer con la otra. No hay ningún teorema matemático que se corresponda con ese enunciado.
Si, por el contrario, consideras relevante que una misma persona puede considerar en un contexto dado las dos circunferencias como espacios topológicos y en otro contexto como espacios métricos, entonces tendrás que admitir que para él "no son lo mismo", porque sólo a veces puede darlos por equivalentes.
Para poner un ejemplo, a partir de un desarrollo sintético de la geometría euclídea tridimensional, puedo definir un vector como un par ordenado de puntos (con las operaciones correspondientes). Podría también en ese contexto definir un vector como una terna \( (a, b, r) \) donde \( a \) y \( b \) son planos paralelos, \( r \) es una recta no paralela; decir que el origen del vector es el punto en donde \( r \) corta a \( a \), y el extremo el punto en donde \( r \) corta a \( b \), etc. Sería un proceder válido aunque no práctico.
No basta con definir los vectores, sino que tendrás que definir la suma de un punto más un vector, la suma de vectores y el producto de un escalar por un vector. Si lo haces de forma natural, obtendrás un espacio vectorial isomorfo a cualquier otro que puedas construir a partir de otra definición de vector y las estructuras de espacio afín que obtendrás también serán isomorfas. ¿Representan ambas construcciones el mismo concepto? Sí, en el sentido de que todos los teoremas sobre geometría afín que puedas demostrar con una construcción los podrás demostrar también con la otra, lo cual se debe en el fondo a que tales teoremas no dependen de la construcción concreta que utilices, sino que todos se demuestran a partir de los axiomas de espacio vectorial y de espacio afín. Y una vez has demostrado que ambas construcciones satisfacen tales axiomas, las construcciones en sí se vuelven irrelevantes.
Digamos, por ejemplo, si a partir de los reales construyo dos estructuras \( (E, t, s) \) y \( (E', t', s') \) donde \( t, s, t', s' \) son funciones en \( E, E' \), si existe un isomorfismo entre ellas ¿representarían a un mismo concepto en relación a \( \mathbb{R} \)?
No sé cómo habría que interpretar lo de "en relación a \( \mathbb{R} \)", pero, salvo eso, la respuesta es afirmativa para alguien que no esté interesado más que en las propiedades de la construcción que se pueden demostrar a partir de las propiedades de las funciones \( t,s \). Pero si alguien está interesado en otras propiedades de dichas propiedades que requieran una estructura más rica, puede decirte que no representan el mismo concepto, como es el caso de las dos circunferencias de tamaños distintos.
Porque por ejemplo, la noción de vector en geometría acaece por querer definir lo que sería un segmento orientado, una flecha. Como pregunta análoga ¿cualquier cosa que se 'comporte' como una flecha representa a esta noción de flecha para un espacio euclídeo tridimensional?
Aquí me da la impresión de que esto no es un ejemplo de lo anterior, sino una pregunta muy distinta. Para empezar me choca lo que has dicho antes de "que no respondan a ciertos axiomas". ¿A qué te refieres con "comportarse como una flecha" si no es cumplir ciertos axiomas (en este caso los de espacio vectorial y los de espacio afín)?
Si admitimos que "comportarse como una flecha" es satisfacer ciertos axiomas, entonces la pregunta es muy distinta porque ahora no estás suponiendo un isomorfismo entre las dos construcciones, sino que ambas cumplan unas propiedades requeridas. Si esto te lleva a la pregunta de si dos construcciones que satisfagan una serie de propiedades requeridas representan el mismo concepto, la respuesta es negativa en general: dos anillos verifican los axiomas de la teoría de anillos, pero no tienen por qué ser isomorfos. Haría falta que las propiedades que consideras sean lo suficientemente fuertes como para que caractericen los objetos que las cumplen. Por ejemplo, (en el contexto de la teoría de conjuntos), dos estructuras que verifiquen los axiomas de Peano son isomorfas y representan con la misma legitimidad al concepto de número natural, pero dos estructuras que verifiquen los axiomas de Peano de primer orden no tienen por qué ser isomorfas.
