[moirl]

Hola tengo este problema

Sea \( F(x) = 2x^3+3x^2+6x+1 \)

a) Probar que f es creciente en R
b) Probar que f es suyectiva
c)Calcular inversa de f

Gracias

[Fernando Revilla]

Sea F(x) = 2x^3+3x^2+6x+1 a) Probar que f es creciente en R

\( F'(x)=6x^2+6x+6=6\left(x^2+x+1\right)=6\left[\left(x+1/2)^2+3/4\right)\right]>0 \) para todo \( x\in\mathbb{R} \).

b) Probar que f es suyectiva

Al ser estrictamente creciente es inyectiva. Dado que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{F(x)}=+\infty \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{F(x)}=-\infty \) y por aplicación del teorema de los valores intermedios para funciones compuestas, se concluye que \( F \) es sobre, en consecuencia biyectiva.

c) Calcular inversa de f

No me parece bonito que te pregunten eso. 

[Fernando Revilla]

No me parece bonito que te pregunten eso. 

O tal vez pudiera ser bonito. Usando el "conocido" método para la resolución de la ecuación de tercer grado, y eligiendo la única raíz real de la ecuación \( 2x^3+3x^2+6x+1=y \) con \( y\in \mathbb{R} \) obtendrás

          \( f^{-1}(x)=\ldots=-\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{2\sqrt{x^2+3x+9}-2x-3}+\dfrac{3}{2\sqrt[3]{2\sqrt{x^2+3x+9}-2x-3}}-\dfrac{1}{2} \)

[moirl]

El 3 es asi:  \( F(x) \) tiene inversa? si tiene calcular\(  F(-1)^{-1} \), osea la inversa en -1

[Luis Fuentes]

Hola

El 3 es asi:  \( F(x) \) tiene inversa? si tiene calcular\(  F(-1)^{-1} \), osea la inversa en -1

Pues tendrías que resolver la ecuación:

\( 2x^3+3x^2+6x+1=-1 \)

Pero el proceso para hacerlo es laborioso. Está descrito aquí:

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado

Saludos.

P.D. Si no te han enseñado el procedimiento general para resolver ecuaciones de tercer grado o alternativamente si no te permiten usar métodos numéricos y ordenadores para resolver la eucación, probablemente haya una errata en el enunciado.

[moirl]

b) Probar que f es suyectiva

Al ser estrictamente creciente es inyectiva. Dado que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{F(x)}=+\infty \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{F(x)}=-\infty \) y por aplicación del teorema de los valores intermedios para funciones compuestas, se concluye que \( F \) es sobre, en consecuencia biyectiva.


Bien estaba viendo si lo podía demostrar, y intente esto, me gustaría si me dijeran si va bien y si no como seria .
Dejo foto, porque mi uso de Latex es muy básico

[EnRlquE]

Hola moirl.

 Vas bien, en tu demostración —que por cierto te recomiendo que, con el tiempo, reproduzcas en tu mensaje para que sea de más fácil acceso y, de paso, para que practiques algo de \( \LaTeX \)— confundes el cero con el número real \( c \) con el que comienzas. Y al final no me queda claro si concluyes que existe \( x \) tal que \( f(x)=\color{blue}0 \) o si en lugar de cero es \( c \). Si reemplazamos la desigualdad \( f(x)>0 \) por \( f(x)>\color{blue}c \) y \( f(x)<0 \) por \( f(x)<\color{blue}c \) tu demostración estaría "casi bien", porque tienes una errata en la parte que escribes \( f(M-1)<c \); debería ser \( f({\color{blue}-M-1})<c \). Finalmente la conclusión es que existe \( x\in(-M-1,M+1) \) tal que \( f(x)=c \).

 Otra observación es que el primer \( M \) (que existe) en tu demostración, no tiene por qué ser el mismo que el segundo \( M \). Puede encontrarse un número \( M \) que verifique las dos desigualdades (de tu demostración), pero a priori es más conveniente poner diferentes nombres a esas constantes.

Saludos,

Enrique.