[mazuro]

 Hola a todos

Demostrar que cualquier polinomio cúbico \( P(x) \) tiene al menos una raíz real. Se puede suponer que el polinomio es mónico, esto es, que el coeficiente de \( x^3 \) es la unidad.

¿Cómo puedo proceder?   

Muchas gracias, saludos.

[EnRlquE]

Hola.

 Suponiendo que el polinomio tiene la forma \( p(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c \), se sigue que \( \lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty \), en particular existe algún número real \( M \) tal que \( p(M)>0 \). Similarmente, de \( \lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty \) se deduce la existencia de otro número real \( N \) (que se puede tomar menor que \( M \)) tal que \( p(N)<0 \). Finalmente puedes aplicar el teorema del valor intermedio en el intervalo \( [N,M] \) para mostrar que existe un punto \( c\in(N,M) \) tal que \( p(c)=0 \).

 Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

[mathtruco]

Sólo para complementar la respuesta de EnRlquE, si el polinomio tiene coeficientes reales, entonces sus raíces complejas vienen de a pares (\( z \) es raíz entonces \( \bar z \) también), por lo que si el polinomio tiene grado impar entonces tendrá al menos una raíz real.

[feriva]

Hola a todos

Demostrar que cualquier polinomio cúbico \( P(x) \) tiene al menos una raíz real. Se puede suponer que el polinomio es mónico, esto es, que el coeficiente de \( x^3 \) es la unidad.

¿Cómo puedo proceder?   

Muchas gracias, saludos.

También puedes consultar el Teorema Fundamental del Álgebra.

Saludos.

[mazuro]

Muchas gracias 

Como el polinomio es continuo se puede aplicar el TVI en el intervalo \( [N,M] \), además porque sus imágenes (M y N) tienen signos opuestos por tanto hay al menos una raíz real.

Saludos.