Hola a todos
Dejo un dibujo adjunto para ilustrar mejor la solución al ejercicio.
LLamamos \( M \) al punto medio de la diagonal \( BD \). Hacemos pasar por \( M \) un eje \( E \) perpendicular a dicha diagonal y que corta al paralelogramos en los puntos \( P \) y \( Q \) (como se muestra en el dibujo). Al doblar el paralelogramos y unir \( B \) con \( D \) lo que se lleva a cabo realmente es una simetría del cuadrilátero \( ABQP \) respecto del eje \( E \). Dicho cuadrilátero se transforma en otro cuadrilátero de vértices \( A'DQP \). Se forma así el pentágono de vértices \( A'DCQP \).
Todos los vértices del pentágono miden \( 108º \) (los ángulos pintados en verde en el dibujo) porque en todo pentágono la suma de sus ángulos es \( 540º \) y al ser regular deben tener la misma medida. El ángulo verde del vértice \( P \) del pentágono mide lo mismo que el ángulo \( \widehat{APQ} \) por semejanza, y el ángulo naranja \( APA' \) debe medir necesariamente \( 144º \) para completar una vuelta.
El triángulo de vértices \( APA' \) es isósceles y, por tener dos ángulos iguales, la medida del ángulo rojo \( \widehat{PAA'} \) debe ser \( 18º \). Este triángulo y el triángulo \( BQD \) son semejantes como se observa en el dibujo y, por tanto, la diagonal \( BD \) forma con el lado \( BC \) del paralelogramo un ángulo también de \( 18º \). Finalmente, si nos fijamos en el triángulo \( BCD \), el ángulo morado es el que forma la diagonal \( BD \) con el lado \( CD \) del paralelogramo, y su medida es de \( 54º \) para que de este modo los tres ángulos del triángulo sumen \( 180º \).
Saludos.
