[Rectilíneo]

Hola,

Necesito encontrar los 5 primeros números cuadrados-triangulares, es decir, aquellos que son a la vez cuadrados perfectos y triangulares.

Los números cuadrados son de la forma \( n^2 \).
Los números triangulares son de la forma \( 1+2+3+\ldots+(m-1)+m=\displaystyle\frac{m(m+1)}{2} \).

Busco esos números \( N \) tales que \( N=n^2=\displaystyle\frac{m(m+1)}{2} \).

Yo he hecho lo siguiente:

\( 2n^2=m^2+m\longrightarrow{m^2+m-2n^2=0} \)

\( m=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{1+8n^2}}{2} \) (el signo - no tiene sentido en este caso). Por tanto: \( m=\displaystyle\frac{\sqrt{8n^2+1}-1}{2} \)

\( 2m+1=\sqrt{8n^2+1} \)

\( (2m+1)^2=8n^2+1 \)

\( n=\sqrt{\displaystyle\frac{(2m+1)^2-1}{8}} \)

Ya tengo el valor de \( m \) en función de \( n \) y el valor de \( n \) en función de \( m \). Pero no todo valor de \( m \) da una solución natural para \( n \) y viceversa.

\( \cdot \) Para que \( m \) sea natural, \( 8n^2+1 \) tiene que ser un número impar elevado al cuadrado, es decir, \( 8n^2+1=(2k+1)^2 \).

\( \cdot \) Para que \( n \) sea natural, \( (2m+1)^2-1 \) tiene que ser un número cuadrado múltiple de 8, es decir, \( (2m+1)^2-1=8k^2 \).

Y aquí me quedo bastante atascado, no sé cómo sacar valores de \( m \) y \( n \) válidos.


Otra cosa que he visto es que se puede sustituir \( 2m+1 \) por \( x \) y \( 2n \) por \( y \) para obtener la siguiente ecuación:

\( x^2-2y^2=1 \)


¿Alguien me ayuda a desatascar la situación y continuar?

Saludos.

[Carlos Ivorra]

\( x^2-2y^2=1 \) es una ecuación de Pell (puedes buscar en internet mucha información sobre estas ecuaciones). En este caso en concreto una solución es \( (x_0, y_0)=(3,2) \) (que corresponde a \( (m,n)=(1,1) \) y si defines recurrentemente

\( (x_{n+1},y_{n+1})=(3x_n+4y_n,2x_n+3y_n) \)

obtienes todas las soluciones positivas. Por ejemplo, \( (x_1, y_1)=(17,12) \), que corresponde a \( (m,n)=(8,6) \), \( (x_2, y_2)=(99,70) \), que corresponde a \( (m,n)=(49,35) \), etc.

[Rectilíneo]

\( x^2-2y^2=1 \) es una ecuación de Pell (puedes buscar en internet mucha información sobre estas ecuaciones). En este caso en concreto una solución es \( (x_0, y_0)=(3,2) \) (que corresponde a \( (m,n)=(1,1) \) y si defines recurrentemente

\( (x_{n+1},y_{n+1})=(3x_n+4y_n,2x_n+3y_n) \)

obtienes todas las soluciones positivas. Por ejemplo, \( (x_1, y_1)=(17,12) \), que corresponde a \( (m,n)=(8,6) \), \( (x_2, y_2)=(99,70) \), que corresponde a \( (m,n)=(49,35) \), etc.

Muchas gracias, me tengo que poner a leer información sobre la ecuación de Pell.

\( (x_3, y_3)=(3·99+4·70,2·99+3·70)=(577,408)\longrightarrow{(m_3,n_3)=(288,204)}\longrightarrow{N_3=41616} \)

\( (x_4, y_4)=(3·577+4·408,2·577+3·408)=(3363,2378)\longrightarrow{(m_4,n_4)=(1681,1189)}\longrightarrow{N_4=1413721} \)

\( (x_5, y_5)=(3·3363+4·2378,2·3363+3·2378)=(19601,13860)\longrightarrow{(m_5,n_5)=(9800,6930)}\longrightarrow{N_5=48024900} \)

Los 6 primeros números cuadrado-triangulares son 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900.


PD: He hecho los cálculos con la calculadora como un tontaina en vez de utilizar el excel que es mucho más cómodo...