[Michel]

Uno de los ángulos de un trapecio vale 30º.
Los lados no paralelos son perpendiculares.
Hallar el menor de los lados oblicuos si la paralela media vale 10cm y una de las bases 8 com.

Una pista. Aquí tenemos ocasión de utilizar el teorema: En todo triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo de 30º es la mitad de la hipotenusa. Intentad demostrarlo.

[delmar]

Hola, michel

Denominando ABCD, al trapecio y sea \( <A=30º \), lo muestro en un esquema, considerando el problema resuelto a grosso modo. Por hipótesis del problema \( <O=90º \).
La base menor será \( \overline{BC}=8 \), por ser menor que la mediana \( m=10 \) entonces la base mayor será \( \overline{AD} \). El lado oblicuo que nos piden será \( \overline{CD} \) por que en un triángulo (\( \Delta AOD \)) a menor ángulo se opone menor lado.

Obtención de \( \overline{AD} \)

\( m=\displaystyle\frac{\overline{AD}+\overline{BC}}{2}\Rightarrow{10=\displaystyle\frac{\overline{AD}+8}{2}}\Rightarrow{\overline{AD}=12} \)

Utilizando la propiedad del triángulo recto de 30º, se tiene :

\( \displaystyle\frac{\overline{OD}}{\overline{AD}}=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow{\overline{OD}=6} \)

\( \displaystyle\frac{\overline{OC}}{8}=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow{\overline{OC}=4} \)

\( \overline{CD}=\overline{OD}-\overline{OC}=6-4=2 \)

[Michel]

Hola delmar.

Como se observa en esta solución, el citado teorema es muy útil por su sencillez y porque "nos libra" de hacer uso de trigonomertría.

Sería interesante demostrarlo, sin trigonometría, por supuesto.

Saludos.