[Rectilíneo]

Buenas,

tengo que averiguar cuál de los dos números es mayor: \( 999! \) o \( 500^{1000} \).

He pensado en calcular el número de cifras de cada número. En general, nº cifras\( =log(n)+1 \), por ejemplo, 10^4=10000 tiene \( log(10^4)+1=4+1=5 \) cifras.

Para \( 500^{1000}\longrightarrow{log(500^{1000})+1}=1000log500+1=2699 \) cifras.

Para \( 999!\longrightarrow{log(999!)+1}= \)

No sé cómo calcular el \( log(999!) \)

A lo máximo que he llegado es a esto:

\( log(999!)=log(1·2·3·4·\ldots·997·998·999)=log1+log2+log3+\ldots+log997+log998+log999 \)


¿Alguien me echa una mano?

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas,

tengo que averiguar cuál de los dos números es mayor: \( 999! \) o \( 500^{1000} \).

He pensado en calcular el número de cifras de cada número. En general, nº cifras\( =log(n)+1 \), por ejemplo, 10^4=10000 tiene \( log(10^4)+1=4+1=5 \) cifras.

Para \( 500^{1000}\longrightarrow{log(500^{1000})+1}=1000log500+1=2699 \) cifras.

Para \( 999!\longrightarrow{log(999!)+1}= \)

No sé cómo calcular el \( log(999!) \)

A lo máximo que he llegado es a esto:

\( log(999!)=log(1·2·3·4·\ldots·997·998·999)=log1+log2+log3+\ldots+log997+log998+log999 \)


¿Alguien me echa una mano?

Sería bueno que pusieses \( log_{10} \) para indicar que te refieres al logaritmo en base \( 10 \).

Puedes usar que:

\( \displaystyle\int_{1}^{n}ln(x)dx\leq \displaystyle\sum_{k=1}^n{}ln(k)\leq \displaystyle\int_{1}^{n+1}ln(x)dx \)

y \( log_{10}(x)=ln(x)/ln(10). \)

Saludos.

[Rectilíneo]

Hola

Sería bueno que pusieses \( log_{10} \) para indicar que te refieres al logaritmo en base \( 10 \).

Puedes usar que:

\( \displaystyle\int_{1}^{n}ln(x)dx\leq \displaystyle\sum_{k=1}^n{}ln(k)\leq \displaystyle\int_{1}^{n+1}ln(x)dx \)

y \( log_{10}(x)=ln(x)/ln(10). \)

Saludos.

Hola,

no sé como usar esa desigualdad para dar resultado a \( log_{10}(999!) \)...

Pero he encontrado otra forma de resolver el problema sin necesidad de logaritmos, dividiendo \( 999! \) entre \( 500^{1000} \) y viendo si el cociente da mayor o menor a 1.

\( X=999! \), \( Y=500^{1000} \)

\( \displaystyle\frac{X}{Y}=\displaystyle\frac{500-499}{500}·\displaystyle\frac{500-498}{500}·\ldots·\displaystyle\frac{500+498}{500}·\displaystyle\frac{500+499}{500}·\displaystyle\frac{1}{500} \)

\( \displaystyle\frac{X}{Y}=(1-\displaystyle\frac{499}{500})·(1-\displaystyle\frac{498}{500})·\ldots·(1+\displaystyle\frac{498}{500})·(1+\displaystyle\frac{499}{500})·\displaystyle\frac{1}{500} \)

Ahora a cada pareja se le aplica la diferencia de cuadrados:

\( \displaystyle\frac{X}{Y}=[1-(\displaystyle\frac{499}{500})^2]·[1-(\displaystyle\frac{498}{500})^2]·\ldots·[1-(\displaystyle\frac{2}{500})^2]·[1-(\displaystyle\frac{1}{500})^2]·\displaystyle\frac{1}{500} \)

Todo factor de la multiplicación es menor que 1, por tanto \( \displaystyle\frac{X}{Y}<1 \) y \( 999!<500^{1000} \)

Dime si está bien lo que he hecho y me explicas poco a poco lo de los logaritmos, si no es molestia.

Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

no sé como usar esa desigualdad para dar resultado a \( log_{10}(999!) \)...

Pues:

\( log_{10}(999!)=\dfrac{1}{ln(10)}ln(999!)=\dfrac{1}{ln(10)}\displaystyle\sum_{n=1}^{999}{}ln(n) \)

Entonces aplicando la desigualdad:

\( \displaystyle\int_{1}^{999}ln(x)dx\leq \displaystyle\sum_{k=1}^{999}{}ln(k)\leq \displaystyle\int_{1}^{1000}ln(x)dx \)

Operando:

\( 999Ln(999)-998\leq \displaystyle\sum_{k=1}^{999}{}ln(k)\leq 1000ln(1000)-999 \)

Termina las cuentas...

Pero he encontrado otra forma de resolver el problema sin necesidad de logaritmos, dividiendo \( 999! \) entre \( 500^{1000} \) y viendo si el cociente da mayor o menor a 1.

\( X=999! \), \( Y=500^{1000} \)

\( \displaystyle\frac{X}{Y}=\displaystyle\frac{500-499}{500}·\displaystyle\frac{500-498}{500}·\ldots·\displaystyle\frac{500+498}{500}·\displaystyle\frac{500+499}{500}·\displaystyle\frac{1}{500} \)

\( \displaystyle\frac{X}{Y}=(1-\displaystyle\frac{499}{500})·(1-\displaystyle\frac{498}{500})·\ldots·(1+\displaystyle\frac{498}{500})·(1+\displaystyle\frac{499}{500})·\displaystyle\frac{1}{500} \)

Ahora a cada pareja se le aplica la diferencia de cuadrados:

\( \displaystyle\frac{X}{Y}=[1-(\displaystyle\frac{499}{500})^2]·[1-(\displaystyle\frac{498}{500})^2]·\ldots·[1-(\displaystyle\frac{2}{500})^2]·[1-(\displaystyle\frac{1}{500})^2]·\displaystyle\frac{1}{500} \)

Todo factor de la multiplicación es menor que 1, por tanto \( \displaystyle\frac{X}{Y}<1 \) y \( 999!<500^{1000} \)

Dime si está bien lo que he hecho y me explicas poco a poco lo de los logaritmos, si no es molestia.

Bien   

Saludos.

[Rectilíneo]

\( log_{10}(999!)=\dfrac{1}{ln(10)}ln(999!)=\dfrac{1}{ln(10)}\displaystyle\sum_{n=1}^{999}{}ln(n) \)

Entonces aplicando la desigualdad:

\( \displaystyle\int_{1}^{999}ln(x)dx\leq \displaystyle\sum_{k=1}^{999}{}ln(k)\leq \displaystyle\int_{1}^{1000}ln(x)dx \)

Operando:

\( 999Ln(999)-998\leq \displaystyle\sum_{k=1}^{999}{}ln(k)\leq 1000ln(1000)-999 \)

Termina las cuentas...

¿Entonces el valor de \( \displaystyle\sum_{k=1}^{999}{}ln(k) \) es aproximado? Está entre \( 999Ln(999)-998\approx{5901.848} \) y \( 1000ln(1000)-999\approx{5908.755} \), ¿no?

Las cifras de \( 999! \) estarán entre:

\( \dfrac{1}{ln(10)}\displaystyle\sum_{n=1}^{999}{}ln(n)^-+1=\displaystyle\frac{5901.848}{ln(10)}+1=2564 \)

y

\( \dfrac{1}{ln(10)}\displaystyle\sum_{n=1}^{999}{}ln(n)^++1=\displaystyle\frac{5908.755}{ln(10)}+1=2567 \)


En cualquiera de los dos casos, como el número de cifras de \( 500^{1000} \) es \( 2699 \), \( 999!<500^{1000} \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Entonces el valor de \( \displaystyle\sum_{k=1}^{999}{}ln(k) \) es aproximado? Está entre \( 999Ln(999)-998\approx{5901.848} \) y \( 1000ln(1000)-999\approx{5908.755} \), ¿no?

Las cifras de \( 999! \) estarán entre:

\( \dfrac{1}{ln(10)}\displaystyle\sum_{n=1}^{999}{}ln(n)^-+1=\displaystyle\frac{5901.848}{ln(10)}+1=2564 \)

y

\( \dfrac{1}{ln(10)}\displaystyle\sum_{n=1}^{999}{}ln(n)^++1=\displaystyle\frac{5908.755}{ln(10)}+1=2567 \)


En cualquiera de los dos casos, como el número de cifras de \( 500^{1000} \) es \( 2699 \), \( 999!<500^{1000} \).

Correcto.

Saludos.