Hola
Buenas noches;
Soy un aficionado a la física y a la matemática (aunque bastante torpe en esto último), estoy siguiendo un foro sobre http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.es/2009/08/momento-angular-tratamiento-matricial.html. Hay un desarrollo en el que me pierdo y no entiendo el porque donde dice "Con estas últimas dos relaciones podemos sacar a relucir una propiedad interesante de los operadores escalera tratando de obtener \( (J_+)^3(J_-)^3 \) a partir de \( (J^+)^2(J-)^2 \) de la siguiente manera " Me pierdo en los pasos 4 y 5 en los que la matriz J+ se va corriendo de derecha y se van introduciendo matrices identidad en \( (J_z+I)^2 y (J_z+I) \). No entiendo el porque de esta maniobra. El desarrollo contiene además un error en el paso donde pone \( (J_z^2+I)^2 \) Entiendo que el termino \( J_z^2 \) de esa expresión sobra tal y como aparece más adelante en la expresión general.
Básicamente, no entiendo el porque de la expresión que aparece entre paréntesis. Hay alguien que pudiera explicármelo de forma sencilla.
Saludos y gracias.
Tienes las siguientes propiedades previas:
(i) \( J^2 \) y \( J_+ \) conmutan.
(ii) \( J_zJ_+=J_+(J_z+I) \)
Fíjate que de esta segunda propiedad se deduce también que:
(iii) \( J_z^2J_+=J_zJ_+(J_z+I)=J_+(J_z+I)(J_z+I)=J_+(J_z+I)^2 \)
y
(iv) \( J_zJ_+^2=J_+(J_z+I)J_+)=J_+(J_zJ_++J_+)=J_+(J_+(J_z+I)+J_+)=J_+^2(J_z+2I) \)
y en general:
(v) \( J_zJ_+^n=J_+^{n-1}(J_z+(n-1)I)J_+=J_+^{n-1}(J_zJ_++(n-1)J_+)=J_+^{n-1}(J_+(J_z+I)+(n-1)J_+)=J_+^n(J_z+nI) \)
(vi) \( J_z^2J_+^n=J_zJ_+^n(J_z+nI)=J_+^n(J_z+nI)(j_z+nI)=J_+^n(J_z+nI)^2 \)
(vii) \( \boxed{J_z^mJ_+^n=J_zJ_+^n(J_z+nI)^{m-1}=J_+^n(J_z+nI)(j_z+nI)^{m-1}=J_+^n(J_z+nI)^m} \)
Ahora aplicamos esto para operar sobre:
\( (J^2-J_z^2-J_z)(J_+)^2=(J^2J_+^2-J_z^2J_+^2-J_zJ_+^2)=(J_+^2J^2-J_+^2(J_z+2I)^2-J_+^2(J_z+2I)) \)
donde hemos usado (i), (vii) para \( m=n=2 \). Terminamos sacando factor común a la izquierda a \( J_+^2 \):
\( J_+^2(J^2-(J_z+2I)^2-(J_z+2I)) \)
Saludos.
