[Xaora]

Hola!
No sé cómo empezar este ejercicio de física. A ver si alguien me puede ayudar. Muchas gracias!

Una bola, de tamaño despreciable, rueda sobre una esfera de radio R, desde el punto A (punto más alto de la esfera) hasta un punto B (punto que unido al centro de la esfera y al punto A forma un ángulo de 37º). Calcula: a) la velocidad inicial de la bola en el punto A. b) La distancia medida desde C (punto situado en la perpendicular del punto B y en la base de la esfera) a la cual cae la bola.

[Richard R Richard]

Veamos si lo puedo resolver 10 años después...

Según el enunciado la bola de dimensiones despreciables, la suponemos puntual, sin rotación y sin rozamiento.

Este problema me llamo la atención porque 37° no es el ángulo de despegue, es decir luego de pasar por B la bola continúa deslizando siguiendo la superficie hasta unos 48° aproximadamente, resultado conocido de ser del ángulo de despegue de un tobogán  de superficie circular.

Así que resolvemos esto primero..

Resuelvo entendiendo otro enunciado

El punto a)  como es una bola sobre una superficie es circular tiene equilibrio inestable y caerá sin velocidad inicial, es decir la velocidad inicial es nula.

El punto b)  lo empezamos teniendo en cuenta dos aspectos el equilibrio de fuerzas de la segunda ley de Newton y la conservación de la energía mecánica.

En el punto de despegue la fuerza normal a la superficie es nula

$$mg\cos\theta -\cancelto{0}{N}\cos\theta=m\dfrac{v^2}{R}$$

$$mg(R-R\cos\theta)=\dfrac12 mv^2$$

de estas dos ecuaciones se tiene $$\cos\theta=\dfrac23 \quad\to\quad \theta =48.19°$$ y $$v=\sqrt{\dfrac{2Rg}{3}}$$  como había predicho.

Así que si se toma como referencia cero  la base de la esfera el punto B se ubica en $$R\sin37$$ pero despega de la esfera en la posición $$R\sin48.19$$ la primera parte el viaje se desliza por la superficie y avanza una distancia horizontal de $$x_1=R(\sin48.19-\sin37)$$

A partir de ese momento cae siguiendo una parábola que se puede calcular  sabiendo el tiempo de caída, hasta la altura cero, y con ese tiempo calculamos el avance a velocidad constante en direccion $$x$$

$$0=2R-R\cos\theta-v\sin\theta t-\dfrac12gt^2$$   despejamos el tiempo $$t$$ de una cuadrática

y el avance $$x_2=v\cos\theta t=\dfrac{2vt}{3}$$

luego la distancia a la que cae respecto de la proyección de B es $$d=x_1+x_2$$

[cerrar]

[ani_pascual]

Hola:

...
No sé cómo empezar este ejercicio de física. A ver si alguien me puede ayudar. Muchas gracias!

Una bola, de tamaño despreciable, rueda sobre una esfera de radio R, desde el punto A (punto más alto de la esfera) hasta un punto B (punto que unido al centro de la esfera y al punto A forma un ángulo de 37º). Calcula: a) la velocidad inicial de la bola en el punto A. b) La distancia medida desde C (punto situado en la perpendicular del punto B y en la base de la esfera) a la cual cae la bola.

A ver si me sale el mismo resultado que el de Richard R Richard ...😅

Spoiler

a)
Suponiendo que se conserva la energía mecánica en el trayecto de \( A \) a \( B  \), se tiene
\( \Delta E_c=-\Delta E_p \), es decir,
\( \dfrac{1}{2}mv_B^2-\dfrac{1}{2}mv_A^2=mgR(1-\cos\theta) \).
Por otra parte, en el punto \( B  \) la bola pierde el contacto con la esfera, luego la normal se anula, y así, por la segunda ley de Newton, al ser un movimiento circular, se tiene
\( mg\cos\theta-N=m\dfrac{v_B^2}{R} \) con \( N=0 \).
Por tanto, \( v_B^2=gR\cos\theta\Longrightarrow\\ v_A^2=Rg\cos\theta-2gR(1-\cos\theta)=\\gR(3\cos\theta -2)\Longrightarrow \\\boxed{v_A=\sqrt{gR(3\cos\theta -2)}} \)
b)
A partir del punto \( B \) el movimiento es parabólico, en caída libre, luego el alcance es
\( x=v_B(\cos\theta)t  \), siendo \( t  \) el tiempo de la caída, que se deduce de
\( 0=R(1+\cos\theta)-v_B(\sin\theta) t-\dfrac{1}{2}gt^2 \).
Resolviendo y sustituyendo llego a \(
x=\dfrac{v_B\cos\theta\left(\sqrt{v_B^2\sin^2\theta+2gR(1+\cos\theta)}-v_B\sin\theta\right)}{g} \) siendo
\( \theta=37^{\circ} \) y \( v_B=\sqrt{gR\cos\theta} \)
Figura añadida

[cerrar]

Saludos

[Richard R Richard]

Hola, tu respuesta es la más natural, pero si impones la condición de que la bola se despega de la superficie  cuando la normal es nula, entonces el angulo no es 37 sino 48.19, por eso me llamo la atención el problema, o fue un error de tipeo de los angulos (un poco difícil) o hay dos porciones de trayectoria, una circular y otra parabólica, y hay que sumar sus proyecciones horizontales.

[ani_pascual]

Hola, Richard R Richard 🖐🏻:

Hola, tu respuesta es la más natural, pero si impones la condición de que la bola se despega de la superficie  cuando la normal es nula, entonces el angulo no es 37 sino 48.19, por eso me llamo la atención el problema, o fue un error de tipeo de los angulos (un poco difícil) o hay dos porciones de trayectoria, una circular y otra parabólica, y hay que sumar sus proyecciones horizontales.

Bajo mi punto de vista, lo que dices es cierto si se dejara caer la bola en \( A \), es decir, si \( v_A=0 \), pues en ese caso sí se cumple que \( \theta=48,19^{\circ} \). Pero si se lanza con una velocidad \( v_A\neq 0 \), entonces \( \theta<48,19^{\circ} \), o sea, la bola se despega de la esfera antes de llegar a ese ángulo. Se trata de hallar \(  v_A \) para que el ángulo de despegue sea \( \theta=37^{\circ} \)
Saludos

[Richard R Richard]

Hola, Richard R Richard 🖐🏻:

Hola, tu respuesta es la más natural, pero si impones la condición de que la bola se despega de la superficie  cuando la normal es nula, entonces el angulo no es 37 sino 48.19, por eso me llamo la atención el problema, o fue un error de tipeo de los angulos (un poco difícil) o hay dos porciones de trayectoria, una circular y otra parabólica, y hay que sumar sus proyecciones horizontales.

Bajo mi punto de vista, lo que dices es cierto si se dejara caer la bola en \( A \), es decir, si \( v_A=0 \), pues en ese caso sí se cumple que \( \theta=48,19^{\circ} \). Pero si se lanza con una velocidad \( v_A\neq 0 \), entonces \( \theta<48,19^{\circ} \), o sea, la bola se despega de la esfera antes de llegar a ese ángulo. Se trata de hallar \(  v_A \) para que el ángulo de despegue sea \( \theta=37^{\circ} \)
Saludos

Ah claro! Por eso pregunta la velocidad inicial, por eso para mi era perogrullo, pero tiene miga.  Cuando vuelva tener tiempo recalculo teniendo eso en cuenta.

Spoiler

La ecuación de energía inicial

$$mgR(1-\cos37)=\dfrac12m(v^2-v_0^2)$$

la de equilibrio de fuerzas e la misma

$$mg\cos37=m\dfrac{v^2}{R}$$

llegando a $$v_0=\sqrt{2gR(\frac32 \cos37-1)}$$

la velocidad de salida es $$v=\sqrt{gR\cos37}$$

ahora el punto de despegue tiene la misma coordenada de B

y entonces $$0=2R-R\cos37-v\sin37 t-\frac12gt^2$$  resolvemos la cuadrática para $$t$$

y la proyección horizontal del vuelo es  $$x=v\cos37 t$$

[cerrar]