[filoEdwin]

Demuestre que la recta normal a \( y=\sqrt[]{ 1-X^2} \)  siempre pasa por el origen
 
ayuda por favor.

[geómetracat]

La manera larga: calcula la ecuación de la recta normal en el punto (recuerda que es la recta que pasa por el punto y tiene pendiente \( -1/y' \), donde \( y' \) es la derivada de tu función evaluada en el punto). Comprueba que el origen forma parte de esa recta viendo que \( (0,0) \) es solución de la ecuación.

La manera corta: date cuenta de que la función que te dan es la semicircunferencia superior de radio \( 1 \), y usa el resultado de geometría elemental que dice que la recta normal por un punto de una circunferencia es un diámetro (es decir, pasa por el origen).

[filoEdwin]

ya derive la función y la efectue con \( -1/y' \)   luego que mas, es que me confundí

[Luis Fuentes]

Hola

ya derive la función y la efectue con \( -1/y' \)   luego que mas, es que me confundí

La ecuación de una recta que pasa por el punto \( (x_0,y_0) \) y tiene pendiente \( m \) es:

\( y-y_0=m(x-x_0) \) (*)

Entonces escoge un punto \( (x_0,y_0) \) de la curva, es decir, verificando \( y_0=\sqrt{1-x_0}^2 \).

Calcula la derivada \( y' /tex]en ese punto; en (*) toma [tex]m=-1/y' \). Finalmente comprueba que el origen, es decir, el punto \( (x,y)=(0,0) \) verifica la ecuación de la normal hallada.

Saludos.