Sí, aparte los vectores (o bueno, sus coordenadas covariantes) se transforman igual que las derivadas de los escalares con respecto a sus coordenadas covariantes. Los tensores de orden n como los productos de las coordenadas. Él los define así. Rigurosamente, un vector es algo que se representa por unas coordenadas, y esas coordenadas tienen que variar obligatoriamente de esa forma, para que se pueda seguir considerando el mismo vector. De hecho, en los espacios euclideos la definición se simplifica. Las componentes de un vector cambian como las diferencias de las coordenadas de los puntos al cambiar del sistema de referencia. Vamos, que \vec{AB}=\vec{b}-\vec{a} donde b y a son las coordenadas cartes¡anas de los puntos A, B, escritas en matrices fila generalmente. En espacios euclideos evidentemente es igual a la definición de magnitud definida con una magnitud escalar positivo, una dirección y un sentido, lo que pasa que esa definición en espacios curvos no es muy factible, puesto que al desplazar un vector libre de un punto a otro da 2 vectores diferentes según por donde lo traslades, por eso tuvo que inventar además las derivadas covariantes.
Lo de sumar los indices repetidos de distinto tipo (los covariantes, los de arriba, y los contravariantes, los de abajo) , se llama notación de Einstein
