Hola
Hola tengo dudas con este ejercicio
\( Expresar \) \( cos(nx) \), \( sen(nx) \) \( \mbox{en }funcion\mbox{ de} \) \( cosx , senx, \forall{n} \) entero
Lo que he hecho
Por la fórmula de Moivre:
\( (cosx+isenx)^n= cos(nx)+isen(nx) \)
Aplicando binomio de Newton al primer miembro
\( (cosx+isenx)^n = \displaystyle\binom{n}{0}{cos}^nx+ \displaystyle\binom{n}{1}{cos}^{n-1}x(isen(x))+ \displaystyle\binom{n}{2}{cos}^{n-2}x(isen(x))^2 + ...+ \displaystyle\binom{n}{n-1}cosx(isen(x))^{n-1}+ \displaystyle\binom{n}{n}(isen(x))^{n} \)
\( = {cos}^n x+ni{cos}^{n-1}xsenx - \displaystyle\frac{n^2-n}{2} {cos}^{n-2}x {sen}^2x +...+nicosx{sen}^{n-1}x+{sen}^nx \)
Igualando la parte real y la parte imaginaria
\( cos(nx) = {cos}^nx - \displaystyle\frac{n^2-n}{2} {cos}^{n-2}x {sen}^2x +...+ {sen}^nx \)
\( sen(nx)=n{cos}^{n-1}xsenx +...+ncosx{sen}^{n-1}x \)
¿Está bien? ¿Como lo puedo expresar de forma mas "bonita"
En esencia está bien. Una forma un poco más compacta de expresarlo puede ser lo siguiente.
Tienes:
\( (cos(x)+isin(x))^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}(isin(x))^kcos(x)^{n-k} \)
Para quedarnos con la parte real nos fijamos en los términos en los que \( k \) es par, es decir, \( k=2m \) con \( 0\leq m\leq \lfloor n/2 \rfloor \):
\( cos(nx)=\displaystyle\sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor }{}\displaystyle\binom{n}{2m}(-1)^msin(x)^{2m}cos(x)^{n-2m} \)
y usando que \( sin^2(x)=1-cos^2(x) \) queda:
\( cos(nx)=\displaystyle\sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor }{}\displaystyle\binom{n}{2m}(cos^2(x)-1)^{m}cos(x)^{n-2m} \)
Puedes hacer algo análogo para el seno.
Saludos.
