Hola:
Hola estoy viendo números complejos y tengo dudas con esta demostración
Demostrar que \( \forall{a+bi} \neq{0} \), la ecuación \( z^2=a+ib \) \( \mbox{tiene }exactamente\mbox{ dos soluciones} \)
\( z_1 = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\sqrt[ ]{a^2+b^2}+a}}{\sqrt[ ]{2}} + isig(b) \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\sqrt[ ]{a^2+b^2}-a}}{\sqrt[ ]{2}} \)
\( z_2= -z_1 \)
denotando \( z_1 \) por \( \sqrt[ ]{a+ib} \)
Lo que he hecho
Tenemos que
\( (x+iy)^2 = x^2\color{red}+\color {black}y^2+2xyi \), si \( (x+iy)^2=a+bi \Longrightarrow{x^2+y^2+2xyi=a+bi} \)
Se concluye que
\( x^2\color{red}+\color {black}y^2 =a \), \( 2xy=b \)
De antemano gracias
Cometiste un error:
\( (x+iy)^2 = x^2 +(iy)^2+2xyi \), si \( (x+iy)^2=a+bi \Longrightarrow{x^2-y^2+2xyi=a+bi} \)
\( x^2-y^2 =a \)(1),
\( 2xy=b \)(2)
Por otro lado el módulo del cuadrado de un complejo es el cuadrado del módulo del complejo, es decir.
Aclaración
Lo puedes comprobar :
\( (x^2-y^2)^2 =a^2 \)
\( 4x^2y^2=b^2 \)
Sumando \( (x^2+y^2)^2 =a^2+b^2 \)
O en polares:
\( z=\rho_{\alpha} \)
\( |z|^n=\rho^n \)
\( z^n=\rho^n_{n \alpha} \)
\( |z^n|=\rho^n=|z|^n \)
Si llamo \( w=z^2=a+bi \)
\( |z^2|=|z|^2\Leftrightarrow{}\sqrt[ ]{a^2+b^2}=|w|=x^2+y^2 \)(3)
Operando: (1)+(3)
\(
2x^2=|w|+a\Longleftrightarrow{}x=\pm{}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{|w|+a}{2}} \)
Operando: -(1)+(3)
\(
2y^2=|w|-a\Longleftrightarrow{}y=\pm{}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{|w|-a}{2}} \)
En principio hay cuatro soluciones, dos para cada variable x e y.
Pero de \( 2xy=b\Rightarrow{}sig( b)=sig(xy) \)
si b<0, x e y tienen signos opuestos, por ello lo del signo delante de la raíz de y.( quedándonos solo con 2 posibilidades)
Saludos.
