[jramirez]

Si ab= 3024 y m.c.m.(a, b) = 504, hallar el valor de a y b.

¿Alguien sabría cómo resolver este problema? Gracias

[feriva]

Si ab= 3024 y m.c.m.(a, b) = 504, hallar el valor de a y b.

¿Alguien sabría cómo resolver este problema? Gracias

Con esta relación hallas el m.c.d

\( m.c.d.(a,b)\cdot m.c.m.(a,b)=ab
  \)

Después, si divides “ab” por el m.c.d. al cuadrado, lo que ocurre es que te queda el producto de los factores coprimos de “a” y de “b”; por tanto, haciendo eso quizá puedas encontrar la solución.

(Si no se te ocurre aun así, pregunta)

Saludos.

[jramirez]

Aún así no logro avanzar, se me está atascando bastante este tema. Muchísimas Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Aún así no logro avanzar, se me está atascando bastante este tema. Muchísimas Gracias.

De lo apuntado por feriva deduces que \( mcd(a,b)=6 \). Es decir tienes:

\( mcd(a,b)=6=2^1\cdot 3^1\cdot 7^0 \)
\( mcm(a,b)=504=2^3\cdot 3^2\cdot 7^1 \)

Ahora ten en cuenta que, para cada divisor primo \( 2,3,7 \) uno de los dos números \( a \) ó \( b \) tendrá que tener el menor exponente (de los dos que aparecen en el mcd y mcm) y el otro el mayor.

Supongamos que es \( a \) el que tiene el factor \( 7^1 \). Ahora para los otros dos factores \( 2 \) y \( 3 \) tienes dos posibilidades para cada uno, dependiendo de si mandas a \( a \) el mayor o el menor exponente. ¿Sabes terminar? ¿Cuáles son esas cuatro posibles soluciones?.

Saludos.

[feriva]

Aún así no logro avanzar, se me está atascando bastante este tema. Muchísimas Gracias.

De nada. Bueno, yo estaba escribiendo esto pero ha contestado el_manco, te lo dejo en spoiler

Spoiler

Despejando tienes que el m.c.d es 6. O sea, que tanto “a” como “b” tienen el factor 6.

Si dividimos “ab” por su cuadrado, 36, nos queda \( 84 \).

Lo descomponemos en primos y nos queda que es \( 2*2*3*7 \).

Los doses tienen que pertenecer a “a” o a “b”, no a uno sólo de ellos, pues entonces el m.c.d sería 12 en vez de 6.

Así pues tenemos tres factores para formar los posibles valores de “a” y “b” 4,3,7, de donde podrían ser en principio (en principio quiere decir antes de atender al valor del m.c.m) éstos:

\( 3*4=12\, y\,7
  \) que multiplicando cada uno por 6 (no se nos olvide, que es el mcd que multiplica a los dos) es la pareja \( (72,42) \)

\( 3*7=21\, y\,4
  \) luego otra pareja posible es \( (126,24)  \)

\( 3\, y\,4*7=28
  \) otra es \( (18,168) \)

\( 3*4*7=84\, y\,1
  \) y otra \( (504,1) \) (si no me dejo alguna, ya miras tú)

Pero el m.c.m es \( 504=2^{3}*3^{2}*7
  \)... así que sólo puede ser la pareja que tenga ese m.c.m; ¿la sacas tú ya? Es sólo eso.

[cerrar]

Saludos.

[jramirez]

Muchísimas gracias a ambos, ahora si lo he entendido ya perfectamente. Visto así parece muy sencillo, aunque es evidente que me falta bastante teoría por estudiar. Tengo un temario muy largo y esta parte la he dejado para el final. Muchísimas gracias de nuevo.