[andres_z]

Hola, me piden demostrar o hallar un contraejemplo de la siguiente afirmación que no entiendo:

La composición de dos relaciones puede ser una función sin que ninguna de ellas lo sea.

¿A que se refiere con "sin que ninguna de ellas lo sea"?

Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, me piden demostrar o hallar un contraejemplo de la siguiente afirmación que no entiendo:

La composición de dos relaciones puede ser una función sin que ninguna de ellas lo sea.

¿A que se refiere con "sin que ninguna de ellas lo sea"?

Que las dos relaciones que compongas no sean funciones, pero la relación composición si sea función.

La respuesta es que se puede ocurrir: intenta encontrar un ejemplo.

Saludos.

[andres_z]

Hola, ahora entendí, gracias

\( f = \{(x,y),(x,z)\}, g = \{(y,z),(x,z),(x,y)\}, f\circ{g} = \{(x,z)\} \)

Para demostrarla puedo decir que \( f \) y \( g \) tienen que tener al menos 1 elemento que este relacionado mas de una vez (el primer elemento del par, no se como llamarlo), y ahora veo que la composición no tiene por que ser función 

Pistas? gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ahora entendí, gracias

\( f = \{(x,y),(x,z)\}, g = \{(y,z),(x,z),(x,y)\}, f\circ{g} = \{(x,z)\} \)

Para demostrarla puedo decir que \( f \) y \( g \) tienen que tener al menos 1 elemento que este relacionado mas de una vez (el primer elemento del par, no se como llamarlo), y ahora veo que la composición no tiene por que ser función 

Pistas? gracias!

Ahí tienes un ejemplo donde la composición de dos relaciones, que no son función da otra que tampoco es función. Pero la afirmación dada no niega que eso pueda ocurrir.

La afirmación lo que dice es que también puede ocurrir lo contrario, es decir, que dos que no sean función al componerla si de una función.

Considera \( X=\{a,b,c\} \), \( f=\{(a,b),(a,a),(b,a),(c,a)\},\quad g=\{(a,a),(b,a)\} \)

Saludos.

[andres_z]

Hola,

Ahí tienes un ejemplo donde la composición de dos relaciones, que no son función da otra que tampoco es función. Pero la afirmación dada no niega que eso pueda ocurrir.

La afirmación lo que dice es que también puede ocurrir lo contrario, es decir, que dos que no sean función al componerla si de una función.

Considera \( X=\{a,b,c\} \), \( f=\{(a,b),(a,a),(b,a),(c,a)\},\quad g=\{(a,a),(b,a)\} \)

Saludos.

Pense que en mi ejemplo \( f\circ{g} = \{(x,z)\} \) si era función, para mi algo que no es función tiene que tener mas de una preimagen "apuntando" a una misma imagen, no se si me explico... ¿hay algo mas? ¿el conjunto vacio se puede considerar función?

Segun tu ejemplo:
\( f\circ{g} = \{(a,a),(b,a),(c,a)\} \)

¡Muchas gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,

Ahí tienes un ejemplo donde la composición de dos relaciones, que no son función da otra que tampoco es función. Pero la afirmación dada no niega que eso pueda ocurrir.

La afirmación lo que dice es que también puede ocurrir lo contrario, es decir, que dos que no sean función al componerla si de una función.

Considera \( X=\{a,b,c\} \), \( f=\{(a,b),(a,a),(b,a),(c,a)\},\quad g=\{(a,a),(b,a)\} \)

Saludos.

Pense que en mi ejemplo \( f\circ{g} = \{(x,z)\} \) si era función, para mi algo que no es función tiene que tener mas de una preimagen "apuntando" a una misma imagen, no se si me explico... ¿hay algo mas? ¿el conjunto vacio se puede considerar función?

En general, en tus ejemplos estás olvidando indicar en que conjunto trabajas, lo cuál es relevante. Una relación en un conjunto \( X \) es una función de \( X  \)en \( X \) si cada elemento de \( X \), tiene una única imagen, es decir, para todo \( x\in X \) existe un único \( y\in X \) tal que \( (x,y)\in R \).

Entonces en tu ejemplo, presupongo que trabajas en \( X=\{x,y,z\} \). La composición \( \{(x,z)\} \) no es función porque \( y \) e \( z \) no tienen imagen.

Saludos.

[andres_z]

Hola,

En general, en tus ejemplos estás olvidando indicar en que conjunto trabajas, lo cuál es relevante. Una relación en un conjunto \( X \) es una función de \( X  \)en \( X \) si cada elemento de \( X \), tiene una única imagen, es decir, para todo \( x\in X \) existe un único \( y\in X \) tal que \( (x,y)\in R \).

Entonces en tu ejemplo, presupongo que trabajas en \( X=\{x,y,z\} \). La composición \( \{(x,z)\} \) no es función porque \( y \) e \( z \) no tienen imagen.

Saludos.

Ahora entiendo, muchas gracias 

Saludos