Hola
Tengo problemas con dos ejercicios sobre divisibilidad quien me ayuda, son los siguientes:
1) Hallar el cociente y resto de la división de \( a \) por \( b \) si \( -b\leq{r}<0 \)
Aquí no me queda muy claro exactamente que te están pidiendo; sin saber \( a \) y \( b \) no puede saberse el cociente y el resto.
Sospecho que te están pidiendo que hagas la operación por exceso expresando los resultados en función de la división clásica por defecto. Es decir normalmente tendríamos:
\( a=cb+r \) con \( c \) el cociente y \( 0\leq r<b \) el resto (*)
Se trataría de hallar \( c' \) y \( r' \) tales que:
\( a=c'n+r' \) con \( -b\leq r'<0 \)
Pero partiendo de (*):
\( a=cb+r=(c+1)b-b+r=\underbrace{(c+1)}_{c'}b+\underbrace{(r-b)}_{r'} \)
2) Dado \( m \) natural hallar los restos posibles de \( m^2 \) y \( m^3 \) en la división por \( 3,4,5,7,8 \) y \( 11 \)
En general para calcular los restos posibles de \( m^n \) en la división por \( p \) basta que calcules los restos de \( m^n \) con \( m=0,1,\ldots,p-1 \) ya que después se repiten.
Además si \( n \) es impar, el resto de \( m^n \) es el mismo que el de \( (p-m)^n \).
Si \( n \) es impar el resto de \( m^n \) es \( p \) menos el resto de \( (p-m)^n. \)
Por ejemplo los posibles restos de \( m^3 \) al dividir por \( 11 \) son:
\( m=0 \) \( m^3=0 \) resto \( 0 \)
\( m=1 \) \( m^3=1 \) resto \( 1 \)
\( m=2 \) \( m^3=8 \) resto \( 8 \)
\( m=3 \) \( m^3=27=22+5 \) resto \( 5 \)
\( m=4 \) \( m^3=64=55+9 \) resto \( 9 \)
\( m=5 \) \( m^3=125=121+4 \) resto \( 4 \)
\( m=6=11-5 \) el resto de \( m^3 \) es \( 11-4=7 \)
\( m=7=11-4 \) el resto de \( m^3 \) es \( 11-9=2 \)
... termina...
Saludos.
