Hola
Halle el número de relaciones \( R \) en el conjunto \( A = \{a, b, c, d\} \) que verifican simultáneamente las 3 condiciones siguientes: \( R \) es simétrica; \( (a,b)\in{ R} \); \( (c,c) \in{R} \).
De esto puedo deducir que la relación es simétrica, no irreflexiva, no antisimétrica, no asimétrica, y puede ser reflexiva y/o transitiva.
Tambien se que al ser simétrica el par \( (b,a) \in{ R} \).
En general para un conjunto de \( n \) elementos \( A=\{1,2,\ldots,n\} \) para formar una relación simétrica basta decidir que pares \( \{(x,y),(y,x)\} \) vamos a incluir en ella, con \( x \) e \( y \) iguales o distintos. Por tanto hay tantas relaciones simétricas como subconjuntos tiene el conjunto de pares de elementos que podemos escoger en \( A \) pudiendo repetir elementos y sin importarnos el orden. El cardinal de tal conjunto es el número de combinaciones con repetición de \( n \) elementos tomados de dos en dos:
\( CR_{n;2}=\displaystyle\binom{n+1}{2}=\dfrac{n(n+1)}{2} \)
Recuerda ahora que el número de subconjuntos de un conjunto de \( N \) elementos es \( 2^N \), por tanto el número de posibles relaciones simétricas es: \( 2^{n(n+1)/2} \).
Si, como en tu ejercicio, sólo nos interesan las que contienen al par \( (1,2) \) (y por tanto al \( (2,1) \) por simétria) y a \( (3,3) \). De esos \( \dfrac{n(n+1)}{2} \) posibles pares dos siempre han de estar contenidos, por tanto el número de relaciones simétricas sería:
\( 2^{\frac{n(n+1)}{2}-2} \)
En tu caso y para \( n=4 \) quedan: \( 2^8=256 \) relaciones.
Saludos.
