Agradezco la respuesta. Muy interesante y me ha ayudado en algo a la hora de hacerme una mejor idea de lo que es la geometría.
Por otra parte, mi nivel no es tan alto como el tuyo y aun hay ciertos temas de la explicación que se me escapan. Estudio 1º año del grado de matemáticas y me interesa mucho la geometría.
Genial, hacen falta más geómetras, que somos poquitos. Tú sigue con la geometría y no te dejes enredar por los algebristas, analistas y demás fauna.
En cierta manera, me gustaría también entender y saber clasificar lo que he visto hasta ahora. Es decir, alguien podría ayudarme a clasificar (aunque sea de forma intuitiva) los siguientes temas:
-Geometría 2D, Geometría 3D,Planimetria,Estereometria, Geometría Clasica (he oído hablar de ella pero no se muy bien lo que engloba),Trigonometría circular, Trigonometría esférica, Geometría euclidea, Geometrías no euclideas (hiperbólica, elíptica,... hay mas?), Geometría esférica, Geometría analítica, Geometría Afin, Geometría métrica, Geometría Diferencial, Geometría absoluta.
Son el tipo de geometría que mas me suenan y hasta ahora me conformaría con saber (aunque sea de forma intuitiva) como clasificarlas.
Gracias!
Ahora la pregunta está más acotada. Intentaré "clasificar" todo lo que pones en tu lista.
Primero, "geometría 2D" y "geometría 3D" sin más especificaciones no significa nada. Para cada geometría (afín, hiperbólica, esférica, euclídea,...) hay versiones 2D, 3D, 4D,... y n-dimensionales en general. Si te encuentras esos nombres así sin más, lo más normal es que se refieran a geometría euclídea.
Sobre planimetría y estereometría más de lo mismo, aunque no son nombres que yo recuerde haber oído en un contexto matemático. Normalmente se refieren a "geometría euclídea plana (2D)" y "geometría euclídea espacial (3D)".
Para lo demás, déjame hacer una digresión primero. Hay varios métodos para estudiar geometría. El más antiguo, introducido por los griegos, es empezar con una pequeña lista de axiomas (que pretenden ser "verdades evidentes") que es lo que pides que cumpla tu "espacio", tus "rectas", "planos", etc y a partir de ahí demostrar lógicamente todos los teoremas. Lo importante es que aquí "recta", "plano", etc es sólo un nombre, no tiene por qué coincidir con lo que todo el mundo entiende por recta. Este enfoque se suele llamar geometría sintética o geometria axiomática. El paradigma de esto son los Elementos de Euclides. Déjame ponerte los axiomas de Euclides, que son cinco:
1. Por cada par de puntos distintos pasa una recta.
2. Cada segmento de recta se puede extender a una recta.
3. Dado un punto \( P \) y un radio \( r \) existe un círculo de centro \( P \) y radio \( r \).
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta corta a otras dos de manera que los ángulos interiores del mismo lado suman menos de dos ángulos rectos, entonces estas dos rectas se cortan en el lado en que los ángulos interiores suman menos de dos rectos.
Te dejo una imagen ilustrando el último axioma:
Estos axiomas han quedado superados hoy en día (tienen ciertos problemas), pero aún así los Elementos son un buen ejemplo de geometría sintética.
Bien, pues partiendo únicamente de estos cinco axiomas (y una serie de definiciones y nociones comunes), Euclides demuestra todos los teoremas típicos de geometría euclídea plana (sobre rectas, triángulos, polígonos y círculos). Pero supongo que ya te habrás dado cuenta de que el quinto axioma de Euclides es bastante más complicado que los cuatro anteriores. Así que la gente se preguntó si ese quinto axioma no podía demostrarse a partir de los cuatro anteriores. Pues bien, la respuesta (después de unos cuántos siglos) es que no. De todas formas, enseguida se vio que ese quinto axioma era equivalente al siguiente (llamado axioma de las paralelas):
5'. Dada una recta \( r \) y un punto \( P \) fuera de \( r \), existe una recta única paralela a \( r \) que pasa por \( P \).
La geometría que resulta de considerar únicamente los 4 primeros postulados de Euclides se llama "geometría absoluta". Así pues, la geometría euclídea es un caso particular de geometría absoluta (es geometría absoluta con un axioma extra). Además, se acabó viendo que si a la geometría absoluta le añades el siguiente axioma:
H. Dada una recta \( r \) y un punto \( P \) fuera de \( r \), existe más de una recta paralela a \( r \) que pasa por \( P \).
Obtienes la llamada geometría hiperbólica. Así pues, tanto la geometría euclídea como la hiperbólica son casos particulares de geometría absoluta, pero entre ellos no son comparables.
Por otro lado, ya desde antiguo se conocía la geometría esférica, que es la geometría que resulta de considerar que tu espacio (digamos plano) es una esfera y tus rectas son los círculos máximos de la esfera. Para esta geometría también se pueden dar una serie de axiomas y estudiarla desde un punto de vista sintético, pero no es comparable a la geometría absoluta (no cumple los 4 primeros axiomas de Euclides) y por tanto tampoco a la hiperbólica ni a la euclídea. Como puedes ver, en esta geometría no existen paralelas (cualquier par de "rectas" se cortan en dos puntos). La geometría elíptica es como la geometría esférica, pero identificas puntos antipodales de la esfera (así, cualquier par de "rectas" se corta en un punto). Es una modificación bastante conveniente para según qué propósitos.
Estas son las tres grandes geometrías "clásicas": euclídea, elíptica/esférica e hiperbólica.
Otro método de estudiar geometría (que se lleva mucho más hoy en día) es mediante la introducción de coordenadas y métodos algebraicos. A esto muchas veces se le llama geometría analítica (aunque en algunos contextos este término puede significar algo totalmente distinto: geometría compleja). Es el estilo de estudiar geometría que habrás visto en bachillerato: tus puntos en el plano son pares de reales \( (x,y) \), tus recta son conjuntos de puntos que satisfacen una cierta ecuación, etc. Puedes estudiar todas las geometrías que hemos visto antes (euclídea, hiperbólica y elíptica) de esta forma. Además es el punto de vista más adecuado para introducir la geometría afín (aunque también se puede introducir de forma sintética).
La geometría afín básicamente es la geometría que resulta de tomar un espacio vectorial y hacer que todos los puntos sean iguales, al contrario que en álgebra lineal, en que tienes un punto privilegiado (el origen). Sé que no es una definición muy precisa, pero basta para hacerse una idea. Entonces, los objetos y conceptos que estudia la geometría afín son los que no cambian bajo afinidades (esto es, transformaciones que preservan esta estructura afín). Para hacerte una idea, en geometría afín tiene sentido hablar de paralelismo de rectas, pero no de ángulos o longitudes, de la misma manera que en álgebra lineal tiene sentido decir que un vector sea múltiplo de otro, pero no que dos vectores son ortogonales (si no tienes un producto escalar). Desde este punto de vista, se puede recuperar la geometría euclídea como el estudio de geometría afín cuando al espacio vectorial le añades un producto escalar (y consideras conceptos y objetos invariantes bajo transformaciones que respeten ese producto escalar). Es decir, tomas tu espacio afín y lo equipas con una forma de medir longitudes y ángulos. La geometría que encuentras así es la misma que la geometría euclídea del principio, obtenida a partir de axiomas. Así, puedes ver la geometría euclídea como una subgeometría de la afín.
Aunque no la hayas incluído en la lista, déjame decirte que también tienes la geometría proyectiva. Esta es una geometría más general que la afín. La idea es que la geometría afín tiene un fallo: hay rectas que no se cortan nunca (paralelas). La geometría proyectiva solventa esto añadiendo a la geometría afín una recta extra (la recta del infinito) y diciendo que dos rectas afines paralelas se cortan en un punto del infinito. Además de ser importante por sí misma, la importancia es que puedes ver a las geometrías afín, euclídea, hiperbólica y elíptica como subgeometrías de la geometría proyectiva. De ahí que Klein dijera de ella que es la reina de las geometrías.
La trigonometría en general es el estudio de triángulos. Trigonometría circular es el estudio de triángulos euclídeos, la trigonometría esférica es el estudio de los triángulos de la geometría esférica, y la trigonometría hiperbólica de los de la geometría hiperbólica.
Geometría métrica puede referirse a distintas cosas: a veces se usa como sinónimo de euclídea, a veces como cualquier geometría donde haya una noción de distancia (por ejemplo, la afín no sería una geometría métrica).
Geometría diferencial es el estudio de la geometría usando métodos diferenciales (análisis: derivadas, integrales, etc). Todas las geometrías de las que te he hablado se pueden ver desde la óptica de la geometría diferencial. Pero incluye muchas más cosas, por ejemplo, geometría sobre una superfície cualquiera.
Por geometrías no euclídeas, yo diría que la mayoría de gente se refiere a la hiperbólica y a la elíptica, pero algunos incluyen más cosas, como geometría en superfícies (o cosas más generales como variedades) curvadas, etc.
Creo que lo único que me queda es geometría clásica. Es un nombre muy ambiguo que puede querer decir muchas cosas, no está muy definido. Para algunos será sinónimo de geometría euclídea, para otros de geometría sintética,...
En fin, espero que esto contribuya a aclararte un poco más en la jungla que es la geometría.
Por cierto, para estudiarte bien todo esto, tienes el libro de Geometría de Carlos Ivorra que creo que está bastante bien y trata en detalle todos los temas que te he explicado aquí.
