Buenas noches.
\( 14\equiv{-3} mod 17 \). Entonces debemos encontrar \( x \) verificando \( 3^x +3\equiv{0}\hspace{0.1cm} mod 17 \), sacando factor común, debemos encontrar \( x \) verificando \( 3(3^{x-1}+1)\equiv{0}mod 17 \) Como 17 es primo \( \mathbb{Z}_{17} \) es cuerpo, por lo tanto íntegro. Además el indicador de euler de 17 es 16 (por ser primo) y es el orden del grupo de los invertibles en \( \mathbb{Z}_{17} \). Por lo tanto que se verifique la anterior igualdad \( 3^{x-1}+1\equiv 0 mod 17 \) es equivalente a que se verifique \( 3^{x-1}\equiv -1\hspace{0.1cm} mod 17\hspace{0.1cm}\equiv \hspace{0.1cm}16\hspace{0.1cm} mod 17 \) Y tomando x=9 sale fácilmente.
Editado: como 16 es el indicador de Euler se verifica que todo elemento de \( \mathbb{Z}_{17} \) elevado a 16 \( \equiv{1}\hspace{0.1cm} mod 17 \)
Editado 2: Este tipo de problemas es un de los pilares básicos en criptografía, se llaman logaritmos discretos y no hay ningún algoritmo computacional que trate el problema. Por lo tanto paciencia y boli.
Espero haberte ayudado
