[Juan Sánchez]

Tengo el siguiente problema:

1. Queremos averiguar si una estrella de hidróogeno lejana está en movimiento con respecto
a la Tierra. La estrella es demasiado lejana para encontrar un cambio en su brillo
mientras se acerca o aleja de la Tierra, por tanto lo que medimos es su frecuencia de
emisi´on del espectro de hidrógeno. Para la linea espectral que se encuentra a 656.46
nm se hacen los siguientes experimentos:
• Desde la Tierra se mide la longitud de onda emitida por la Estrella 1 a 650 nm.
¿La estrella se acerca o se aleja de la Tierra?
• Dar una expresión para la velocidad de la estrella en función de las longitudes de
onda emitida y recibida, y la velocidad de la luz c. ¿Cuál es la velocidad para la
Estrella 1?
• Desde la Tierra se mide la longitud de onda emitida por la Estrella 2 a 680 nm.
¿Cuál es la velocidad de esta estrella?
• Una nave espacial que viaja en dirección a la Estrella 3 a una velocidad de 0.5c
mide la longitud de onda a 650 nm. ¿Cuál es la velocidad de la estrella respecto
a la nave espacial? ¿Y respecto a la Tierra?

Ya he hecho los 3 primeros apartados, pero tengo una duda para el último.Ya que la longitud de onda que recibe es 650nm, si la nave se mueve a \( 0.5c \) donde \( c \) es la velocidad de la luz, puedo aplicar la fórmula \( v=\displaystyle\frac{1-(\lambda'/\lambda_0)^2}{1+(\lambda'/\lambda_0)^2}c \),  como en el apartado 2, donde en vez de la nave en moviemento tenemos la tierra en reposo? O como la nave se mueve a \( 0.5c \) no puedo hacer eso?

PD: en el 2 me ha salido que la velocidad para la estrella 1 respecto a la tierra es de \( -0.01c \), es decir, que se acerca a una velocidad \( 0.01c \)

Saludos

[Richard R Richard]

Tengo el siguiente problema:

1. Queremos averiguar si una estrella de hidróogeno lejana está en movimiento con respecto
a la Tierra. La estrella es demasiado lejana para encontrar un cambio en su brillo
mientras se acerca o aleja de la Tierra, por tanto lo que medimos es su frecuencia de
emisi´on del espectro de hidrógeno. Para la linea espectral que se encuentra a 656.46
nm se hacen los siguientes experimentos:
• Desde la Tierra se mide la longitud de onda emitida por la Estrella 1 a 650 nm.
¿La estrella se acerca o se aleja de la Tierra?

  Si la longitud de onda  se reduce es porque la frecuencia aumenta, luego la frecuencia solo puede aumentar si la estrella se acerca hacia la tierra.

• Dar una expresión para la velocidad de la estrella en función de las longitudes de
onda emitida y recibida, y la velocidad de la luz c. ¿Cuál es la velocidad para la
Estrella 1?

La formula general $$f_{obs} = f_0 \sqrt{\frac{1 \mp v/c}{1 \pm v/c}}$$   el numerador es positivo si hay acercamiento relativo ( fuente u observador son los que se acercan)


para las longitudes de onda $$\lambda_{obs} = \lambda_0 \sqrt{\frac{1 \pm v/c}{1 \mp v/c}}$$  es a la inversa numerador positivo para el alejamiento


así  $$\lambda_{obs} = \lambda_0 \sqrt{\frac{1 - v/c}{1 + v/c}}$$   de aqui hay que despejar $$v$$


$$ v = c \dfrac{1 - \left(\frac{\lambda_{obs}}{\lambda_0}\right)^2}{1 + \left(\frac{\lambda_{obs}}{\lambda_0}\right)^2} =c \dfrac{\lambda_0^2 - \lambda_{obs}^2}{\lambda_0^2 + \lambda_{obs}^2} $$

• Desde la Tierra se mide la longitud de onda emitida por la Estrella 2 a 680 nm.
¿Cuál es la velocidad de esta estrella?

lo mismo pero ahora se aleja los signos se invierten





$$ v =c \dfrac{\lambda_0^2 + \lambda_{obs}^2}{\lambda_0^2 - \lambda_{obs}^2} $$

• Una nave espacial que viaja en dirección a la Estrella 3 a una velocidad de 0.5c
mide la longitud de onda a 650 nm. ¿Cuál es la velocidad de la estrella respecto
a la nave espacial? ¿Y respecto a la Tierra?

usando nuevamente


$$ v_1 = c \dfrac{\lambda_0^2 - \lambda_{obs}^2}{\lambda_0^2 + \lambda_{obs}^2} $$


para acercamiento  obtenemos la velocidad relativa entre la estrella y la nave.


pero para saber la velocidad de la estrella respecto de la tierra no podemos sumar directamente  las velocidades relativas hay que sumarlas con


$$v_T=\dfrac{v_1+v_2}{1+\dfrac{v_1v_2}{c^2}}=\dfrac{v_1+0.5c}{1+\dfrac{v_1\cdot0.5c}{c^2}}$$