No sé cómo lo demostraron los pitagóricos, pero es una igualdad muy sencilla de pensar geométricamente.
Por inducción, imagina que tienes un cuadrado de lado \( n \) y por tanto área \( n^2 \). Entonces, para obtener a partir de éste un cuadrado de lado \( n+1 \) (área \( (n+1)^2 \)) basta con poner un rectángulo de lados \( n \) y \( 1 \) a la derecha, otro igual arriba y rellenar el hueco que queda con un cuadradito de lado \( 1 \). Espero que con esta descripción se vea el dibujo. Entonces fíjate que el área que has añadido al cuadrado original para obtener el nuevo es \( 2n+1 \). Por supuesto, esto no es más que una versión geométrica de la igualdad \( (n+1)^2 = n^2 + (2n+1) \).
