Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Por esta vez te han corregido la fórmula desde la administración.
Si tengo la ecuación de una recta en \( \mathbb{R}^3 \) de la forma \( aX+bY+cZ-d=0 \), al coger \( V=(a,b,c) \). ¿Sería \( V \) un vector normal a la recta antes nombrada?.
No exactamente, porque \( aX+bY+cZ-d=0 \) no es la ecuación de una recta sino de un plano.
En ese caso (siempre que se trabaje con el producto escalar usual, con la noción de perpendicularidad usual) si es cierto que el vector \( (a,b,c) \) es normal (perpendicular) al plano.
Para demostrarlo basta notar que si dos puntos \( (x_0,y_0,z_0) \), \( (x_1,y_1,z_1) \) pertenencen al plano verifican su ecuación:
\( ax_0+by_0+cz_0-d=0 \)
\( ax_1+by_1+cz_1-d=0 \)
restando y operando queda:
\( (a,b,c)\cdot (x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)=0 \)
de donde se deduce que el vector que une dos puntos cualquiera del plano es perpendicular a \( (a,b,c).
\)
Saludos.
