[mazuro]

Hola a todos

Demostrar:
Si los coeficientes de un polinomio f(x) son reales y si a y b son números reales tales que f(a) y f(b) tienen signos opuestos, la ecuación f(x) = 0 tiene al menos una raíz real entre a y b; de hecho, un número impar de raíces reales. Si una raíz m-veces se cuenta como m-raíces.
Dice que tenga en cuenta que un par de conjugados raíces imaginarias c ± di son las raíces de \( (x-c)^{2}+d^{2}=0 \) y que esta función cuadrática es positiva si x es real. Por tanto, si  \( x_{1},...,x_{n} \)  son las raíces reales y
\( \phi(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}) \) ,  entonces φ (a) y φ (b) tienen signos opuestos.

Lo que hice, pero no relacioné las raíces complejas...

\( \phi(a)=(a-x_{1})(a-x_{2})...(a-x_{n}) \)

\( \phi(b)=(b-x_{1})(b-x_{2})...(b-x_{n}) \)

Entonces tomamos \( a-x_{i}<0 \)  y  \( b-x_{i}>0 \)

luego \( a<x_{i} \)   y   \( b>x_{i} \)   entonces  \( a<x_{i}<b \)

lo que dice que hay al menos una raíz entre a y b.

Debo relacionar las complejas?

Muchas gracias, saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos

Demostrar:
Si los coeficientes de un polinomio f(x) son reales y si a y b son números reales tales que f(a) y f(b) tienen signos opuestos, la ecuación f(x) = 0 tiene al menos una raíz real entre a y b; de hecho, un número impar de raíces reales. Si una raíz m-veces se cuenta como m-raíces.
Dice que tenga en cuenta que un par de conjugados raíces imaginarias c ± di son las raíces de \( (x-c)^{2}+d^{2}=0 \) y que esta función cuadrática es positiva si x es real. Por tanto, si  \( x_{1},...,x_{n} \)  son las raíces reales y
\( \phi(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}) \) ,  entonces φ (a) y φ (b) tienen signos opuestos.

Lo que hice, pero no relacioné las raíces complejas...

\( \phi(a)=(a-x_{1})(a-x_{2})...(a-x_{n}) \)

\( \phi(b)=(b-x_{1})(b-x_{2})...(b-x_{n}) \)

Entonces tomamos \( a-x_{i}<0 \)  y  \( b-x_{i}>0 \)

luego \( a<x_{i} \)   y   \( b>x_{i} \)   entonces  \( a<x_{i}<b \)

lo que dice que hay al menos una raíz entre a y b.

Debo relacionar las complejas?

Si \( x_{1},...,x_{n} \)  son las raíces reales o complejas entonces:

\( \phi(x)=\color{red}C\color{black}(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\ldots (x-x_n) \)

(no olvides el coficiente \( \color{red}C\color{black} \) del término de mayor grado del polinomio).

Ahora lo que te sugiere el enunciado es que si una raíz es compleja también aparece como raíz compleja su conjugada (por tanto hay un número par de raíces complejas). Además el producto \( (x-x_i)(x-x_j) \) con \( x_i,x_j  \)raíces complejas conjugadas siempre da un polinomio de grado dos positivo en todo punto.

Como consecuencia de esto si llamas \( x_1,x_2,\ldots,x_k \) ahora sólo a las raíces reales tienes que:

\( \phi(x)=\color{red}C\color{black}(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_k)g(x) \)

donde \( g(x) \) es un polinomio positivo en todo punto.

Ahora usamos que \( \phi(a) \) y \( \phi(b) \) tienen distinto signo.

Observa que para toda raíz \( x_i \) fuera del intervalo \( (a,b) \) \( (a-x_i) \) y \( (b-x_i) \) tienen el mismo signo.

Por el contrario para toda raíz \( x_i \) en el intervalo \( (a,b) \) \( (a-x_i) \) y \( (b-x_i) \) tienen signo opuesto.

Por tanto para que \( \phi(a) \) y \( \phi(b) \) tengan signo opuesto el número de raíces en el intervalo \( (a,b) \) ha de ser impar.

Saludos.

CORREGIDO:

Cambié el nombre del coeficiente principal \( k \) por \( C \) para no confundirlo con el índice \( k \) que usé para el número de raíces reales.

[mazuro]

Hola

Muchas gracias.

Bueno tengo la siguientes dudas, si \( \phi(a) \)  y  \( \phi(b) \)   tienen signos opuestos, pero, por ejemplo con \( a \)  si reemplazo en el " \( \phi \)  negativo " va a dar el producto positivo solo si \( k \)  es par  y al reemplazar \( b \)  en el " \( \phi \)  positivo "   da el producto positivo... luego \( \phi(a) \) y  \( \phi(b) \)  son positivos...   bueno... es lo que veo, creo que independientemente de \( g(x) \)  ya que siempre es positivo...   

Pero si \( k \)  es impar  ahí sí se cumple...   creo que pienso que es de la elección de \( a \)  y  \( b \) como los pueda tomar... o simplemente funciona para \( k \)  impar... bueno no sé 

Muchas gracias, agradezco enormemente su ayuda.


Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias.

Bueno tengo la siguientes dudas, si \( \phi(a) \)  y  \( \phi(b) \)   tienen signos opuestos, pero, por ejemplo con \( a \)  si reemplazo en el " \( \phi \)  negativo " va a dar el producto positivo solo si \( k \)  es par  y al reemplazar \( b \)  en el " \( \phi \)  positivo "   da el producto positivo... luego \( \phi(a) \) y  \( \phi(b) \)  son positivos...   bueno... es lo que veo, creo que independientemente de \( g(x) \)  ya que siempre es positivo...   

Pero si \( k \)  es impar  ahí sí se cumple...   creo que pienso que es de la elección de \( a \)  y  \( b \) como los pueda tomar... o simplemente funciona para \( k \)  impar... bueno no sé 

Te lo detallo un poco más. Esto se puede reescribir así:

Observa que para toda raíz \( x_i \) fuera del intervalo \( (a,b) \) \( (a-x_i) \) y \( (b-x_i) \) tienen el mismo signo.

Por el contrario para toda raíz \( x_i \) en el intervalo \( (a,b) \) \( (a-x_i) \) y \( (b-x_i) \) tienen signo opuesto.

Si \( x_i \) está fuera del intervalo \( (a,b) \) entonces \( signo(a-x_i)=signo(b-x_i) \).

Si \( x_i \) está dentro del intervalo \( (a,b) \) entonces \( signo(a-x_i)=-signo(b-x_i) \).

Por tanto si llamamos \( x_1,\ldots,x_d \) a las  raíces relaes dentro del intervalo \( (a,b) \) se tiene que:

\( signo(\phi(a))=signo(C(a-x_1)\ldots (a-x_d)(a-x_{d+1})\ldots (a-x_k)g(a)=\\
\\=signo(C)signo(a-x_1)\ldots signo(a-x_d)signo(a-x_{d+1})\ldots signo(a-x_{k}) \)

\( signo(\phi(b))=signo(C(b-x_1)\ldots (b-x_d)(b-x_{d+1})\ldots (b-x_k)g(b)=\\
\\=signo(C)signo(b-x_1)\ldots signo(b-x_d)signo(b-x_{d+1})\ldots signo(b-x_{k})=\\
\\=signo(C)(-signo(a-x_1))\ldots (-signo(a-x_d))signo(a-x_{d+1})\ldots signo(a-x_k)=\\
\\=(-1)^d signo(C)signo(a-x_1)\ldots signo(a-x_d)signo(a-x_{d+1})\ldots signo(a-x_{k})=(-1)^dsigno(\phi(a)) \)

Es decir vemos que:

\( signo(\phi(a))=(-1)^d signo(\phi(b)) \)

donde \( d \) es el número de raíces reales en el intervalo \( (a,b). \)

Por tanto para que el signo sea diferente, \( d \) tiene que ser impar.

Saludos.

[mazuro]

Muchas gracias