Hola a todos
Probar que \( x^{5}-5x+2=0 \) tiene una raíz negativa, dos positivas y dos complejas.
Lo que hice:
\( f(x)=x^{5}-5x+2 \) Ahora por la propiedad de que entre dos raíces consecutivas a y b de \( f'(x)=0 \) entonces existe a lo más una raíz real de \( f(x)=0 \).
Luego hallé la derivada
\( f'(x)=5x^{4}-5 \) luego simplificando queda \( x^{4}-1=0 \) sus raíces son \( 1,-1,i,-i \)
luego las imágenes
\( f(-\infty)=-\infty \)
\( f(-1)=6 \)
\( f(1)=-2 \)
\( f(\infty)=\infty \)
Ahora los intervalos, ya que por Bolzano se tiene que
\( (-\infty,-1) \) \( (-1,1) \) \( (1,\infty) \)
Hay tres raíces reales, una por cada intervalo.
Espero esto esté bien, el incoveniente es saber cuántas positivas y/o negativas por medio de la propiedad del Signo del Polinomio y no por la regla de signos de Descartes...
Por Descartes sale, pero debo hacerla por Signo del Polinomio (dado un polinomio f(x) con coeficientes reales se puede encontrar un número positivo p tal que f(x) tiene el mismo signo que \( a_{0}x^{n} \) cuando x>p).
Intentando, en el intervalo \( (-\infty,0) \), con P negativa tendría signo negativo y f(0)=2, por tanto en este intervalo hay al menos una raíz negativa por Bolzano... pero para el intervalo de \( (0,\infty) \) tomo Q positiva y tendría signo positivo y de nuevo f(0)=2, ambas imágenes son positivas no puedo aplicar Bolzano...
Muchas gracias, saludos.
