[mazuro]

Hola a todos

Bueno este mensaje es parecido a uno que puse anteriormente... es solo que no sé cómo hacer para raiz negativa y raiz positiva 

Dice:

Probar que \( x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx-4=0 \)  tiene una raíz positiva y una negativa con la propiedad del Signo del Polinomio

Lo que hice:  para ello tomo tres valores \( x=0 \) ,   \( x=+Q \) (positivo)  y    \( x=-P \)  (negativo)   entonces

haciendo que \( q(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx-4 \)     se tiene que  \( q(0)=-4<0 \)

y para  \( q(+Q) \)   se tiene el mismo signo que \( Q^{4} \)

y para \( q(-P) \)   se tiene  signo contrario, \( P^{4} \) ,  y además la propiedad dice que un polinomio tiene el mismo signo que \( a_0 \)  si el grado del polinomio es par.


Pero no sé cómo decir que hay una raíz positiva y negativa... no sé cómo relacionar lo que hice para decir que hay una raíz positiva y otra negativa...

Muchas gracias, saludos.

[feriva]

Pero no sé cómo decir que hay una raíz positiva y negativa... no sé cómo relacionar lo que hice para decir que hay una raíz positiva y otra negativa...

Hola. Por la regla de Descartes, si tiene raíces reales, una es positiva por los signos alternados de los últimos términos. Ahora quedan tres raíces, y como las complejas son conjugadas, van de dos en dos, de haber dos complejas, la otra que quedase sería también real. Y (en este caso que estamos considerando) si ésa real fuera positiva, tendría que haber otro alterne de signos, pero sólo hay uno, luego sería negativa.
Si fueran todas reales, lo mismo, para que hubiera más positivas tendría que haber más signos alternados.

Perdona, la regla de descartes no te vale aquí, porque los coeficientes son letras, no sabes el signo que tienen



Saludos.

[mazuro]

Muchas gracias

Cómo podría resolverlo? 

[mazuro]

Hola

Creo que ya resolví el problema:

Si tengo que \( q(0)=-4<0 \)

\( q(+Q) \)  es positivo

\( q(-P) \)  es positivo

luego en el intervalo de (0,+Q)  se tiene que \( q(0)=-4<0<q(+Q) \)

en el intervalo de (-P,0)  se tiene que \( q(-P)>0>-4=q(0) \)

Por tanto, por el teorema de que las imágenes tiene signos opuestos tanto en el intervalo de (0,+Q) como en el de (-P,0) se tiene al menos una raíz positiva en (0,+Q) y al menos una negativa en (-P,0).

Sí? 

Muchas gracias, saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Está bien.

Saludos.