Buen día. Un modelo de la geometría euclidiana es el conjunto \( \mathbb{R}^2 \) con la interpretación de 'puntos' como pares \( (x,y)\in\mathbb{R}^2 \), 'rectas' como conjuntos de pares \( (x,y)\in\mathbb{R}^2 \) tales que \( ax+by=c \) donde \( a,b,c\in\mathbb{R} \) y \( (a,b)\not =(0,0) \), la relación 'estar en' como 'pertenecer' , y la relación 'estar entre' como : Dados tres puntos \( A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2), C=(x_3,y_3) \) decimos que B esta entre A y C si se cumple alguna de estas:
\( x_3<x_2<x_1 \) y \( y_3<y_2<y_1 \) o
\( x_1<x_2<x_3 \) y \( y_1<y_2<y_3 \)
Surgen entonces las siguientes preguntas:
-¿Existe algún modelo para la geometría euclidiana que se de también en \( \mathbb{R}^2 \), pero con interpretaciones distintas de los términos primitivos?
-¿Existe un modelo que no se de en \( \mathbb{R}^2 \)?
-En caso de existir, ¿cuales serían estos modelos?
-El disco de Poincare, el disco de Klein y el semiplano superior son modelos de geometría hiperbólica que se construyen a partir del modelo de geometría euclidiana arriba mencionada. ¿Se pueden construir otros modelos para la geometría hiperbólica en cada uno de los distintos modelos de geometría euclidiana(en caso de que existan)?
