La que el autor del libro que estés leyendo quiera que haya, no es algo universalmente aceptado el usar una u otra. Lo único que puedo decir en general es que la notación \( E_n \) se suele refiere a una entidad geométrica (lo ves como espacio métrico, como variedad riemanniana... depende del contexto) mientras que siempre que se refieren a la estructura de espacio vectorial se usa \( \mathbb{R}^n \).
Un ejemplo donde esto es útil es en geometría riemanniana, donde tanto un plano euclídeo (con métrica plana) y un plano hiperbólico son topológicamente lo mismo (un \( \mathbb{R}^2 \)) pero métricamente muy distintos. Por eso el plano euclídeo a veces se denota \( E_2 \) y el hiperbólico \( \mathbb{H}^2 \).
