[andres_z]

Hola,

Sean \( A \) y \( B \) dos conjuntos finitos con \( |A| = 4 \) y \( |B| = n \). Elija la opción que considere verdadera.

(A) si \( n = 4 \), hay \( 256 \) funciones todas biyectivas
(B) si \( n > 4 \), hay \( \displaystyle\sum_{i=0}^n{(\displaystyle\binom{n}{i}(n-i)^4(-1)^i)} \) funciones sobreyectivas
(C) si \( n \leq{4} \), hay \( \displaystyle\sum_{i=0}^n{Sob(4,i)} \) funciones sobreyectivas y \( n^4-\displaystyle\sum_{i=0}^n{Sob(4,i)} \) funciones no sobreyectivas
(D) si \( n < 4 \), hay \( n^4 \) funciones y no hay funciones sobreyectivas.
(E) Ninguna de las anteriores.

Nota: \( Sob(A,B) \) indica el numero de funciones sobreyectivas del conjunto \( A \) al conjunto \( B \)

Me gustaria saber cual es verdadera... voy a descartar algunas.

La (A) es Falsa, hay 256 funciones, pero no todas son biyectivas.
La (B) es Falsa, \( n \) tiene que ser menor o igual a \( |A| \) para tener sobreyectivas.
La (D) es Falsa, si \( n < 4 \) hay funciones sobreyectivas.

Estoy entre la (C) y la (E), ¿cual les parece? ¿por qué?

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Sean \( A \) y \( B \) dos conjuntos finitos con \( |A| = 4 \) y \( |B| = n \). Elija la opción que considere verdadera.

(A) si \( n = 4 \), hay \( 256 \) funciones todas biyectivas
(B) si \( n > 4 \), hay \( \displaystyle\sum_{i=0}^n{(\displaystyle\binom{n}{i}(n-i)^4(-1)^i)} \) funciones sobreyectivas
(C) si \( n \leq{4} \), hay \( \displaystyle\sum_{i=0}^n{Sob(4,i)} \) funciones sobreyectivas y \( n^4-\displaystyle\sum_{i=0}^n{Sob(4,i)} \) funciones no sobreyectivas
(D) si \( n < 4 \), hay \( n^4 \) funciones y no hay funciones sobreyectivas.
(E) Ninguna de las anteriores.

Nota: \( Sob(A,B) \) indica el numero de funciones sobreyectivas del conjunto \( A \) al conjunto \( B \)

Me gustaria saber cual es verdadera... voy a descartar algunas.

La (A) es Falsa, hay 256 funciones, pero no todas son biyectivas.
La (B) es Falsa, \( n \) tiene que ser menor o igual a \( |A| \) para tener sobreyectivas.
La (D) es Falsa, si \( n < 4 \) hay funciones sobreyectivas.

Estoy entre la (C) y la (E), ¿cual les parece? ¿por qué?

Estoy de acuerdo con lo que has concluido hasta el momento.

Pero no estoy seguro de entender que significa \( Sob(4,i) \). Tu dices que \( Sob(A,B) \) es el número de aplicaciones sobreyectivas de \( A \) en \( B \). Pero en \( Sob(4,i) \) las variables son números no conjuntos; lo razonable sería entender entonces que \( Sob(4,i) \) se refiere al número de aplicaciones sobreyectivas  de un conjunto de \( 4 \) elementos en uno de \( i \) elementos; en ese caso obviamente (C) sería falso, ya que el número de aplicaciones sobreyectivas serían \( Sob(4,n) \) y no \( \displaystyle\sum_{i=0}^n{}sob(4,i) \).

Saludos.

[andres_z]

Estoy de acuerdo con lo que has concluido hasta el momento.

Pero no estoy seguro de entender que significa \( Sob(4,i) \). Tu dices que \( Sob(A,B) \) es el número de aplicaciones sobreyectivas de \( A \) en \( B \). Pero en \( Sob(4,i) \) las variables son números no conjuntos; lo razonable sería entender entonces que \( Sob(4,i) \) se refiere al número de aplicaciones sobreyectivas  de un conjunto de \( 4 \) elementos en uno de \( i \) elementos; en ese caso obviamente (C) sería falso, ya que el número de aplicaciones sobreyectivas serían \( Sob(4,n) \) y no \( \displaystyle\sum_{i=0}^n{}sob(4,i) \).

Saludos.

Hola, gracias por responder. Tienes razón, la definí mal... aunque has acertado igual, la definición sería así:

\( Sob(m,n) \): Cuenta la cantidad de funciones sobreyectivas de un conjunto de m elementos (dominio) a un conjunto de n elementos (codominio).

El problema es que la (C) es verdadera, y para mi es la (E) 

¿Alguien me puede hacer entender por qué?

Gracias!

[andres_z]

Hola, comento por las dudas por si alguien llega a leer esto, que la verdadera es la (B)

Se puede probar por inducción que si \( m<n \), entonces \( Sob(m,n) = 0 \).

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, comento por las dudas por si alguien llega a leer esto, que la verdadera es la (B)

Se puede probar por inducción que si \( m<n \), entonces \( Sob(m,n) = 0 \).

Cuidado; en todo momento en el enunciado sobreentendí que está hablando de aplicaciones de  \( A \) en \( B \).  Si fuese así si \( |A|=4 \) y \( |B|=n>4 \) no existen aplicaciones sobreyectivas de \( A \) en \( B  \)y por eso dije que la opción (b) es falsa.

Si por el contrario hablamos de aplicaciones de \( B \) en \( A \) con \( |B|=n>4 \) y \( A=4. \) entonces la fórmula dada en (b) si es correcta.

Saludos.

[andres_z]

Cuidado; en todo momento en el enunciado sobreentendí que está hablando de aplicaciones de  \( A \) en \( B \).  Si fuese así si \( |A|=4 \) y \( |B|=n>4 \) no existen aplicaciones sobreyectivas de \( A \) en \( B  \)y por eso dije que la opción (b) es falsa.

Si por el contrario hablamos de aplicaciones de \( B \) en \( A \) con \( |B|=n>4 \) y \( A=4. \) entonces la fórmula dada en (b) si es correcta.

Saludos.

Hola, habla de aplicaciones de \( A \) en \( B \), \( Sob(|A|, |B|) = Sob(4, n) = \displaystyle\sum_{i=0}^n{(\displaystyle\binom{n}{i}(n-i)^4(-1)^i)} = 0 \), con \( |B| = n>4 \)
Me pusieron este ejercicio en una prueba, y resulta que esta fue la verdadera... 

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, habla de aplicaciones de \( A \) en \( B \), \( Sob(|A|, |B|) = Sob(4, n) = \displaystyle\sum_{i=0}^n{(\displaystyle\binom{n}{i}(n-i)^4(-1)^i)} = 0 \), con \( |B| = n>4 \)
Me pusieron este ejercicio en una prueba, y resulta que esta fue la verdadera... 

Saludos

¡Ah! Vale la fórmula de cero para \( n>4 \). Ahora te entendí. No me había dado cuenta. Disculpa.

Saludos.