[AignacioV]

Buenas.. La verdad que mañana tengo un parcial y todavía no sé como resolver ésto..

Dada la siguiente función \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}  \qquad f(x) = x^{2} + 6x - 5 \)
1. Resuelva la ecuación asociada.
2. Encuentre las coordenadas del vértice. Grafique.
3. Determine dominio e imagen.
4. Clasifique la función justificando su respuesta.

Si me ayudarán con ésto se los agradecería mucho y si me pasan algún post donde explique ésto también. Desde ya muchas gracias, gran comunidad.

[elcristo]

Hola.

Lo primero, ¿Qué entiendes cuando te piden "Resolver la ecuación asociada"?

Después, encontrar las coordenadas del vértice. Hay una fórmula para calcular el vértice de una parábola en función de los coeficientes ¿La conoces?

Graficar. Esto no supone mucho problema. Si quieres algún consejo para graficar, dilo sin problemas.

Dominio e imagen. El dominio de cualquier función cuadrática es el mismo. ¿Cuál crees que es? La imagen siempre va a ser un intervalo de la forma \( (-\infty,a] \) o \( [a,\infty) \), y esto depende del signo del coeficiente de \( x^2 \). Si es negativo, será \( (-\infty,a] \), si es positivo será \( [a,\infty) \). Y el \( a \) es justamente la coordenada \( y \) del vértice.

Y clasificar la función, pues aquí ni idea. Depende de qué clasificación de funciones te han dado. Hay tantas formas de clasificar una función que si no das un poco más de información no te sé decir.

Saludos.

[AignacioV]

Hola.. Con respecto a los dos primeros puntos me quedan dudas, lo de la ecuación asociada no lo sé y la fórmula de calcular el vértice tampoco.

Los otros puntos si, ya los resolvi.

[walter_zerocool]

Buenas.. La verdad que mañana tengo un parcial y todavía no sé como resolver ésto..

Dada la siguiente función \( f:R \Longrightarrow{} R/f(x) = x^{2} + 6x - 5 \)
1. Resuelva la ecuación asociada.
2. Encuentre las coordenadas del vértice. Grafique.
3. Determine dominio e imagen.
4. Clasifique la función justificando su respuesta.

Si me ayudarán con ésto se los agradecería mucho y si me pasan algún post donde explique ésto también. Desde ya muchas gracias, gran comunidad.

El vértice se puede calcular con derivadas, pues está en el máximo o mínimo. O también se puede calcular con la fórmula:
Sea una función cuadrática \( f(x)=ax^2+bx+c \)
\( \displaystyle x=\frac{-b}{2a} \)
Entonces para tu problema \( a=1, b=6, c=-5 \)
Por lo que el vértice está en
\( \displaystyle x= \frac{-(6)}{2(1)}=-3 \)
Donde \( f(-3)=(-3)^2+6(-3)+5=-4 \)
Es decir el vértice está en \( (-3,-4) \)

Respecto a la gráfica te recomiendo Geogebra, es gratis y muy sencillo de usar...

[elcristo]

Hola.

Bueno, pues vamos a comenzar desde el principio.

¿Qué es una ecuación?. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Cuando te dan una función, cuadrática en este caso, \( f(x)=x^2+6x-5 \) la ecuación asociada es \( f(x)=0 \), es decir, \( x^2+6x-5=0 \), la ecuación de segundo grado.

Spoiler

\( x^2+6x-5=0
 \)
\( x=\displaystyle\frac{-6\pm{}\sqrt[ ]{6^2+20}}{2}=-3\pm{}\sqrt[ ]{14}
 \)

[cerrar]

La forma de calcular el vértice con la fórmula ya te la comentó walter_zerocool. Si no conoces la fórmula o no puedes usarla, necesitas saber derivar y calcular el mínimo de una función usando la derivada. ¿Sabes esto?

Para graficar, aquí algunos trucos.

En el apartado 1, en principio, has calculado las raíces de la parábola (si las tiene). Además, en el principio de este apartado has calculado el vértice. Con 3 puntos ya tienes definida la parábola.

Si no tienes las raíces o tienes solo una, es un poquito más difícil. Pero no mucho más, con el vértice y el signo de \( x^2 \) sabes más o menos cómo va la parábola. Dibujes el vértice y sabes que si \( x^2 \) es positivo va para arriba y si es negativo para abajo. Pero eso son pistas. Lo que necesitas siempre son 3 puntos. Los que quieras, una vez los tengas, tienes la parábola.

Saludos.