[cristianoceli]

Título corregido geometria . Debías haberlo corregido tú. 

Hola tengo algunos problemas con este ejercicio y necesito algunas indicaciones en algunos apartados

Defina la siguiente geometría \( (P,L) \) Los puntos \( P =\mathbb{R}^2 = \{(x,y) | x,y \in{\mathbb{R}} \}  \) son todos los pares de números reales \( x,y \) ordenados.
Las rectas \( L \) son todos los conjuntos de puntos  \( (x,y)\in{{\mathbb{R}}^2} \) tal que se cumple:
\( ax+by=1 \) con \( (a,b)\neq{(0,0)} \) reales

Si \( b\neq{0} \), se puede también escribir \( y=mx+n \) con \( m=-\displaystyle\frac{a}{b} \) ,
\( n = \displaystyle\frac{1}{b} \)

i) Demostrar que se cumplen todos los axiomas \( I \) y \( B \)

(Axiomas \( I \))

I1) Dado dos puntos \( p\neq{q}\in{P}  \) existe una única recta \( l \)  con \( p\in{l} \), \( q\in{l} \)
I2) Para toda recta  \( l\in{L} \) existe al menos dos puntos \( p\neq{q} \) con \( p\in{l} \)y \( q\in{l} \)
I3) Existen 3 puntos distintos con la propiedad que no existe ninguna recta \( l \in{L} \) que pase por los 3 puntos (diremos no colineales)

ii) Defina la distancia \( d(A,B) \) para \( A= (a, a^{\prime}) \), \( B= (b, b^{\prime}) \)

\( d(A,B) = [(a-b)^2+(a^{\prime}-b^{\prime})^2]^{\displaystyle\frac{1}{2}}] \)
y el largo del segmento de recta \(  \overline{AB} = { \lambda A + (1 - \lambda ) B | \lambda \in{[1,1]} } \),
\( AB = d (A,B) \)

Demuestre que se cumplen los axiomas \( S_1 , S_2 , S_3 \)

iii) Defina la medida de un ángulo \( \phi = \angle AOB \) por

\( cos \phi = (ab+a^{\prime} b^{\prime}) / (a^2+(a^{\prime})^2)^{1/2} (b^2+(b^{\prime})^2)^{1/2}  \)
\( cos90 = 0 \) es decir \( \bar{OA } \perp{\bar{OB}} \)


Lo que he hecho

\( I_1 \)

Sea \( P = (c,d) \), \( Q= (c^{\prime}, d^{\prime}) \) y sea \( l = - \displaystyle\frac{a}{b} x + \displaystyle\frac{1}{b} \)

Reemplazando

\( d= - \displaystyle\frac{a}{b}c +\displaystyle\frac{1}{b} \)
\( d^{\prime}= - \displaystyle\frac{a^{\prime}}{b}c^{\prime} +\displaystyle\frac{1}{b} \)

Por lo tanto satisface la ecuación
(tengo dudas si esta bien demostrado)

I3 Lo que haría seria tomar el axioma \( I_1 \) decir que por dos puntos pasa una única recta y mostrar que el tercer punto no pertenece a la recta

iii) Para este apartado no sé muy bien como definir la medida del ángulo


De antemano gracias 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola tengo algunos problemas con este ejercicio y necesito algunas indicaciones en algunos apartados

Defina la siguiente geometría \( (P,L) \) Los puntos \( P =\mathbb{R}^2 = \{(x,y) | x,y \in{\mathbb{R}} \}  \) son todos los pares de números reales \( x,y \) ordenados.
Las rectas \( L \) son todos los conjuntos de puntos  \( (x,y)\in{{\mathbb{R}}^2} \) tal que se cumple:
\( ax+by=1 \) con \( (a,b)\neq{(0,0)} \) reales

Si \( b\neq{0} \), se puede también escribir \( y=mx+n \) con \( m=-\displaystyle\frac{a}{b} \) ,
\( n = \displaystyle\frac{1}{b} \)

i) Demostrar que se cumplen todos los axiomas \( I \) y \( B \)

(Axiomas \( I \))

I1) Dado dos puntos \( p\neq{q}\in{P}  \) existe una única recta \( l \)  con \( p\in{l} \), \( q\in{l} \)
I2) Para toda recta  \( l\in{L} \) existe al menos dos puntos \( p\neq{q} \) con \( p\in{l} \)y \( q\in{l} \)
I3) Existen 3 puntos distintos con la propiedad que no existe ninguna recta \( l \in{L} \) que pase por los 3 puntos (diremos no colineales)

ii) Defina la distancia \( d(A,B) \) para \( A= (a, a^{\prime}) \), \( B= (b, b^{\prime}) \)

\( d(A,B) = [(a-b)^2+(a^{\prime}-b^{\prime})^2]^{\displaystyle\frac{1}{2}}] \)
y el largo del segmento de recta \(  \overline{AB} = { \lambda A + (1 - \lambda ) B | \lambda \in{[1,1]} } \),
\( AB = d (A,B) \)

Demuestre que se cumplen los axiomas \( S_1 , S_2 , S_3 \)

iii) Defina la medida de un ángulo \( \phi = \angle AOB \) por

\( cos \phi = (ab+a^{\prime} b^{\prime}) / (a^2+(a^{\prime})^2)^{1/2} (b^2+(b^{\prime})^2)^{1/2}  \)
\( cos90 = 0 \) es decir \( \bar{OA } \perp{\bar{OB}} \)


Lo que he hecho

\( I_1 \)

Sea \( P = (c,d) \), \( Q= (c^{\prime}, d^{\prime}) \) y sea \( l = - \displaystyle\frac{a}{b} x + \displaystyle\frac{1}{b} \)

Reemplazando

\( d= - \displaystyle\frac{a}{b}c +\displaystyle\frac{1}{b} \)
\( d^{\prime}= - \displaystyle\frac{a^{\prime}}{b}c^{\prime} +\displaystyle\frac{1}{b} \)

Por lo tanto satisface la ecuación
(tengo dudas si esta bien demostrado)

No entiendo lo que has hecho. ¿Cuál se supone que es la recta que pasa por \( P \) y \( Q \)?.

En primer lugar con la defnición de rectas que te han dado no hay rectas que pasen por el origen,  luego el axioma I1 falla. Fíjate que una recta de la forma \( ax+by=1 \) no pasa nunca por el \( (0,0) \).

Así que revisa el enunciado.

Saludos.

[cristianoceli]

Tienes mucha razón ya que 0 es distinto de 1, pero eso salía en el ejercicio.
Con respecto al apartado iii no entiendo muy bien como definir la medida del ángulo

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Tienes mucha razón ya que 0 es distinto de 1, pero eso salía en el ejercicio.

¿Pero que quieres decir con que salía?. La cosa es que con esa definición no se cumplen los axiomas.

Con respecto al apartado iii no entiendo muy bien como definir la medida del ángulo

Está tomando la definición de ángulo de la geometría afín usual. Supongo que conoces la fórmula del producto escalar:

\( (a,b)\cdot (a',b')=aa'+bb' \)
\( \|(a,b)\|=\sqrt{a^2+b^2} \)

\( \vec u\cdot \vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|cos(\widehat{\vec u,\vec v}) \)

Simplemente ahí despeja el coseno con \( \vec u=(a,b) \) y \( \vec v=(a',b') \).

Saludos.

[cristianoceli]

Hola

Tienes mucha razón ya que 0 es distinto de 1, pero eso salía en el ejercicio.

¿Pero que quieres decir con que salía?. La cosa es que con esa definición no se cumplen los axiomas.

Con respecto al apartado iii no entiendo muy bien como definir la medida del ángulo

Está tomando la definición de ángulo de la geometría afín usual. Supongo que conoces la fórmula del producto escalar:

\( (a,b)\cdot (a',b')=aa'+bb' \)
\( \|(a,b)\|=\sqrt{a^2+b^2} \)

\( \vec u\cdot \vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|cos(\widehat{\vec u,\vec v}) \)

Simplemente ahí despeja el coseno con \( \vec u=(a,b) \) y \( \vec v=(a',b') \).

Saludos.

Hola, me refiero a que debe haber sido una errata del profesor .

Muchas gracias por tu dedicación.

Saludos