[walter_zerocool]

Tengo algo de rato y no se por donde empezar. Dos problemas:

1.- Sean \( a,b\in{Z} \) tales que \( 2a+3b \) es un múltiplo de 17. (Por ejemplo, podríamos tener a=7, b=1 o a=4, b=3). Demuestre que 17 divide a \( 9a+5b \)

2.- ¿Existen enteros \( x,y,z \) tales que \( 6x+9y+15z=107) \)? Justifique.

PD. Una disculpa por mi escritura Latex, apenas estoy aprendiendo...

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que:

\(  9 \cdot a = 17 \cdot a - 8 \cdot a  \)

\(  5 \cdot b = 17 \cdot b - 12 \cdot b  \)

Intenta seguir.

Editado

Para el siguiente:

\(  6 \cdot x + 9 \cdot y + 15 \cdot z = 3 \cdot (2 \cdot x + 3 \cdot y + 5 \cdot z)  \)

[walter_zerocool]

Tienes que:

\(  9 \cdot a = 17 \cdot a - 8 \cdot a  \)

\(  5 \cdot b = 17 \cdot b - 12 \cdot b  \)

Intenta seguir.

Entonces si sumamos:
\( 9 \cdot a+5 \cdot b =17 \cdot (a+b) - 4(2 \cdot a + 3 \cdot b) \)

Como puedo concluir entonces que efectivamente 17 divide a \( 9 \cdot a+5 \cdot b \) ??

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces si sumamos:
\( 9 \cdot a+5 \cdot b =17 \cdot (a+b) - 4(2 \cdot a + 3 \cdot b) \)

Como puedo concluir entonces que efectivamente 17 divide a \( 9 \cdot a+5 \cdot b \) ??

Pues por hipótesis sabes que \( 2a+3b \) es múltiplo de \( 17 \). Por tanto has escrito \( 9a+5b \) como suma de dos múltiplos de \( 17 \).

Saludos.

[walter_zerocool]

Para el siguiente:

\(  6 \cdot x + 9 \cdot y + 15 \cdot z = 3 \cdot (2 \cdot x + 3 \cdot y + 5 \cdot z)  \)

Gracias el primero ha quedado resuelto.

Para el segundo

Entonces ¿basta con decir que 107 no es múltiplo de 3?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Para el siguiente:

\(  6 \cdot x + 9 \cdot y + 15 \cdot z = 3 \cdot (2 \cdot x + 3 \cdot y + 5 \cdot z)  \)

Gracias el primero ha quedado resuelto.

Para el segundo

Entonces ¿basta con decir que 107 no es múltiplo de 3?

Si, es decir, \( 107  \)no es múltiplo de \( 3 \) pero \( 6 \cdot x + 9 \cdot y + 15 \cdot z \)  si lo es.

Saludos.